2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 76

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

0

Інтеґрал може бути знайдений в скінченному вигляді для деяких значень a і b, наприклад, якщо a = b, тобто якщо еліпс вироджується в коло. В загальному випадку ми можемо знайти тільки наближені значення L для конкретних зна­чень a і b, оскільки первісна підінтеґральної функції, как відомо з більш ґрунто­вних курсів математичного анализу, не виражається через елементарні функції. Приклад 14. Довести, що довжину лемніскати Бернуллі

(x + y ) = a (x - y ) (рис. 14) можна представити наступним інтеґралом:

жж

d— d—

L = 4a

t^L= = 4a j

Vcos2—       о д/l -2sin2 —

Тут первісна підінтеґральної функції також не виражається в елементарних функціях.

6.4. ОБ"ЄМИ

6.4.1. Об"єм тіла з відомими площами паралельних поперечних перерізів

Нехай деяке тіло є заключеним між площинами x = a, x = b, і для будь-

якого x є (a, b) відома площа S(x) поперечного перерізу тіла площиною, перпендикулярною доосі Ox (див. рис. 16). В такому разі об"єм тіла до-рівнює інтеґралу

V и

j S (x )dx ( 22 )

Рис. 16 ■ Елемент об"єму dV - це є об"єм прямого

цилиндра з основою S(x) і висотою dx,

dV = S (x)dx.

Підсумовуючи всі ці елементи, дістаємо шуканий об"єм.^

Приклад 15. Знайти об"єм тривісного еліпсоїда

2 2 2

x    y z

222

a    b c

(рис. 17).

Рис. 17 Очевидно, x < a, - a < x < a. Для будь-

якого x є (- a, a) переріз тіла, перпендикулярний до осі Ox - еліпс

2 2

2

a2

2 = 1

a2

с півосями

и площею

V    a     V a

жЬс

x2

1 - -2

V     a J

Отже, об"єм зліпсоїда на підставі формули (22) дорівнює

a a

V = j S (x ~)dx = жЬс j(1 - x21 a2 ^)dx = жЬс 3a2

-mbc.

Зауважимо, що при a = b = c ми дістаємо об"єм кулі x2 + y2 + z2 < a2

V =— ma . 3

2

2

b

c

a

3

-6.4.2. Об"єм тіла обертання

Криволінійна трапеція

{(x, y): a < x < b, 0 < y < f (x)} (див. рис. 1) обертається навколо осі Ox. Довести, що об"єм відповідного тіла (тіла обертання, рис. 18) виража­ється визначеним інтеґралом

Рис. 18

V = V

rotOx b

mj f2 (x ~)dx.

( 23 )

■Для довільного x є (a, b) поперечний переріз тіла обертання площиною, перпендикулярною до осі Ox, - круг радіуса f (x) (рис. 18). Отже, його площа S (x) = mf2 (x), і за формулою (22) об"єм тіла дається формулою (23).^

Нехай тепер та ж сама криволінійна трапеція

{(x, y): a < x < b, 0 < y < f (x)} (рис. 1) обертається навколо осі Oy, причому остання не проходить через внутрішність трапеції1. Довести, що об"єм тіла її обертання визначається наступним інтеґра-лом:

V = V =

v       v rotOy 2ж и

j xf (x ~)dx.

( 24 )

Вказівка. За елемент об"єму можна взяти об"єм частини тіла, утвореної обертанням навколо осі Oy прямокутника з сторонами y = f (x) і dx. Тоді еле­мент об"єму дорівнює

dV = 2mxf (x),

звідки випливає формула (24).

Приклад 16. Нехай дуга синусоїди

y = sin x, 0 < x < ж

обертається навколо осей Ox і Oy. Знайти об"єми видповідних тіл обертання.

1 То есть a > 0 или b < 0.

За допомоги формул (23), (24) отримуємо

ж ж ж і 1

VrotOx = fj f2 (x)dx = fjsin2 xdx = і j(1 - cos 2x)dx = і j x - ^ sin 2x

1

V=

rotOy

2fj xf (x)dx = 2fj x sin xdx

2 V 2

u = x, dv = sin xdx, du = dx, v = - cos x|

1

= ж

2

2

 

ґ

ж      ж Л

 

ґ

ж Л

 

=2

- (x cos x)

+ jcosxdx

=2

+ sin x

 

= 2 2

 

V

0      0 J

 

V

0J

 

Розгляньмо тепер криволінійну трапецію

{(x, y): c < y < d,0 < x < g(y)}, орієнтовану відносно осі Oy (див. рис. 6), і нехай вона обертається навколо осі Oy. Доведіть, що об"єм відповідного тіла обертання дається інтеґралом, цілком аналогічним інтеґралу (23),

V = V

rotOy ( 25 )

Приклад 17. Еліпс з півосями a, b обертається навколо осі Ox, а потім на­вколо осі Oy. Знайти об"єми відповідних тіл обертання. З канонічного рівняння еліпса маємо

У2 = f2 (x)== ь2 U - *L) = b2 (a2 - x2- a < x < a;

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1