2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 77

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

a

2       2 2

x    = g   (y ) = a 2 a2

b2

= aJ(b2 - y2),   - b < y < b,

і за формулами (23), (25) отримуємо

Vr

ж j y2 dx = ж j f2 (x )dx = жЬ2~ j(a2 - x2 )dx

2b

V

rotOy

Ttjx2cly = Ttjg2(y)dy = жЬ2- j(b2 -y2)dy

-b

-b

-b

8шЬ2 3

8жя 2b

3 .

6.5. ДЕЯКІ ЕКОНОМІЧНІ ЗАСТОСУВАННЯ

Приклад 18. Нехай продуктивність праці підприємства визначається фун­кцією

f (t )=(1 -1 )2,

причому 0 < t < 2. Тоді кількість виготовленої ним продукції протягом про­міжка часу [0, 2] на підставі формули (2) дорівнює

1 -1 = y, dt = -dy\

U j(1 -1 )■

dt

t

0

2

y

1

-1

j У 2dy = j У2 dy 3

Приклад 19 (вартість зберігання товару). Нехай f (t) - кількість товару на

складі в момент часу t, а стала величина h - ціна зберігання одиниці товару про­тягом одиниці часу. Тоді вартість зберігання товару протягом проміжка часу [t, t + dt] (елемент вартості зберігання) дорівнює

dQ = hf (t )dt,

а вартість зберігання всього товару протягом інтервалу часу [0, T] дорівнює

T

Q = j hf (t )dt.

0

Нехай, наприклад, P - початкова кількість товару, який рівномірно і по­вністю витрачається протягом часу T. Тоді кількість товару в момент часу t до­рівнює

f (t) = P - P t/T, а загальна вартість зберігання товару дорівнює

T T ґ     t Л f      12 Л

Q = j hf (t )dt = hP j\ 1 — \dt = hP t--

,-,4        T J V 2T j

hPT

-1

T

7. НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНА ЧЕНОГО ІНТЕҐРАЛА

В попередньому розділі ми розглянули деякі з надзвичайно численних за­стосувань визначеного інтеґрала. Успіх цих застосувань великою мірою зале­жать від нашої спроможності обчислювати інтеґрали, краще за все - за допомо­гою формули Ньютона-Лейбніца. Але формула незастосовна, якщо первісна пі­дінтеґральної функції не виражається в елементарних функціях. В таких випад­ках ми можемо вдаватися до відшукання наближених значень відповідних інте-ґралів.

Для достатньо простого виведення формул наближеного інтеґрування ми припускатимемо підінтеґральну функцію y = f (x) невід"ємною, f (x )> 0. В та­кому випадку визначений інтеґрал

b

J f (x )dx

a

визначає площу криволінійної трапеції

{(x, y): a < x < b,0 < y < f (x)}, обмеженої прямими x = a, x = b, віссю Ox і графіком функції. Отримані резуль­тати залишаються вірними і в загальному випадку.

7.1. ФОРМУЛИ ПРЯМОКУТНИКІВ

Поділимо відрізок [a, b] на n рівних частин довжини

h

b - a

n

точками

я x0 = a, x = x0 + h, x2 = xj + h,..., xn = xn-1 + h = b.

Прямі

Рис. 1 x xj, x x2, x x 1

поділяють графік функції y = f (x) на n частин (рис. 1). Введімо наступні по­значення для значень функції в точках поділу:а) Замінюючи всі частини кривої y = f (x) відрізками прямих ліній

y = y0,    y = Л— y = yn-1,

ми замінюємо криволінійну трапецію множиною прямокутників з сумарною

площею

Отже,

b - a

S1 = y0 h + y1 h + ... + yn-1 ' h =--(y0 + y1 + ... + yn-1 ).

ff (x)dx « S1 = h ^ (y0 + y1 + ... + yn-1 ) = ^ (y0 + y1 + ... + yn-1 ) ( 1 )

n

a

б) Аналогічно, замінюючи всі частини кривої y = f (x) відрізками прямих

ліній

отримуємо

ff (x)dx « S2 = h ^ (y1 + y2 + ... + yn )= ^ (y1 + y2 + ... + yn )

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1