2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 78

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

n1

n

( 2 )

Абсолютна похибка формул (1), (2), а саме абсолютна величина різниці інтеґрала і суми Sf, i = 1, 2, має порядок 1/n, тобто

и

f f (x )dx - S,

< M,   i = 1,2;  M ^ f '(x).

n 2     [a, b]

в) Поділивши відрізок [a, b] на 2n рівних частин довжини

h

b-a 2n

Рис. 2

точками x0 = a,     x2,...,     = b (рис. 2), ми замінимо криволінійну трапецію множиною прямокутників з основами 2h, висотами y1, y3, y5, y7,..., y2n-1 і сумарною площею

b - a

S3 = y.^h + y^ 111 + ... + y2^ 111 = 2~--(y. + y3 + ... + y2n-! ) =

2n

b-a

= 2h \yi+ y3+ ... + y2n-1 ) =--(yi + y3 + ... + y2n-l )

Звідси

ff(x)dx « S3 =2h ^(yi+ y3+ ... + y2n-1) = ^(yi+ y3+ ... + y2n-1)       ( 3 )

Абсолютна похибка формули (3) має порядок 1/n , тобто

b

f f (x )dx - S3 < N    N =(b-a)3 maxl f "(x). n2 24    МГ v A

Це означає, що формула (3) є більш точною в порівнянні з формулами (1) і (2).

7.2. ФОРМУЛА ТРАПЕЦІЙ

в

Після ділення відрізка [a, b] на n рівних частин довжини

h

b-a

Рис. 3

точками

x0 = a, x1 = x0 + h, x2 = x1 + h,..., xn = xn-1 + h = b

ми ділимо на n дуг графік функції y = f (x) точками

A = A(x0, y0), A (x,, y1),..., An (xn, yn ) = B (рис. 3). Замінивши тепер всі дуги відрізками AA1, A1A2,..., An-1B, мы замінимо криволі­нійну трапецію множиною трапецій з сумарною площею

2 2 2 n    у 2

Звідси ми приходимо до наступної наближеної формули (так званої формули трапецій):

и

f f (x )dx *S4,

J f (x )dx «h ( ^ + y1 + y2 +... + Уп-1 1 = — { ^ + y1 + y2 +... + Уп-1 1 ( 4 )

Абсолютна похибка формули (4) має порядок 1/n2, тобто

J f (x )dx - S4

<P P=(b - a )3

max

f "(x ).

n 12        [a, b]1

Це значить, що формули (3) і (4) мають один і той же порядок точності.

7.3. ФОРМУЛА СИМПСОНА1 (ФОРМУЛА ПАРАБОЛ)

Розділимо (точками x0 = a, x1 , x2,... , x2n = b ) відрізок [a, b] на парну кіль­кість 2n рівних частин довжини h = (b - a)/(2n), і нехай

M = M(xo, y0 ), M1 ^ y1 ), M2 (x2, y2 ),..., M2n-1 (x2n-1, y2n-1 ), M2n (x2n , y2n )

- точки кривої y= f(x), які відповідають точкам поділу (див. рис. 4 для випадку

2n = 6).

Проведімо спочатку через точки M, M1, M 2 па­раболу y = Ax2 + Bx + C (див. рис. 4, 5). Площа фігу­ри між параболою і відріз-Рис. 5 ком [x0, x2 ] осі Ox дорівнює

Рис. 4

J(Ax2 + Bx + C )dx = 3 (y0 + 4 y + y2).

■Припустімо для простоти доведення, що x0 = 0. Тоді x1 = h, x2 = 2h,

y0 = y (0) = C, y1 = y (h) = Ah2 + Bh + C, y2 = A(2h )2 + B(2h) + C = 4 Ah2 + 2Bh + C,

y0 + 4 y1 + y2 = 8 Ah2 + 6Bh + 6C,

1 Симпсон Томас (1710 - 1761) - англійський математик

J (Ax2 + Bx + C)dx = J (Ax2 + Bx + C )dx = - Ah3 + 2Bh2 + 2Ch =

x0 0 3

= h (8Ah2 + 6Bh + 6C) = h (y0 + 4y1 + y2). ■

3 4 '   3 ~ 0

Отже, ми можемо наближено записати

x2 x2

J f (x)dx «J(Ax2 + Bx + C)dx = — (y0 + 4y1 + y2).

x0 x0

Вчиняючи таким же чином з трійками точок

M 2M 3M 4,      M 4M 5M 6, M 2n-2M 2n-M 2n ,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1