2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 79

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

дістаємо

b x2 x4 x6 x2n

J f (x)dx = J f (x)dx + J f (x)dx + J f (x)dx +... + J f (x)dx * S5 =

a x0 x2 x4 x2 n-2

= З (y0 + 4y1 + y2 )+ h (y2 + 4y3 + y4 )+ h3 (y4 + 4y5 + y6 )+ ... + h (y2n-2 + 4y2n-1 + У2п ) = = 3 (y0 + 4 y1 + y2 + y2 + 4 y3 + y4 + y4 + 4 y5 + y6 + ... + y2n-2 + 4 У2 n-1 + У2п ) =

= h ((y0 + y2n )+ 4(y1 + y3 + y5 + ... + y2n-1 )+ 2(y2 + y4 + У6 + ... + У2п-2 )), h = .

Таким чином, ми приходимо до формули Симпсона для наближеного об­числення визначеного інтеґрала

ь b - a

J f (x )dx * S5 = b6na ((y0 + y2n )+ 4(y1 + y3 + ... + y2n-1 )+ 2(y2 + y4 + ... + У2п-2 )) (5) a

Наприклад, у випадку n = 3, 2n = 6 (рис. 4) формула має такий вигляд:

ь b - a

J f (x )dx * -18" ((y0 + y6 )+ 4(y1 + y3 + y5 )+ 2(y2 + y4 )) .

a

Формула Симпсона (5) в порівнянні з формулами (1) - (4) , є найбільш то­чною. Дійсно, її абсолютна похибка має порядок 1/n4 , тобто

b

J f (x)dx - S5

< Q    Q = ^bza^5 maxl/4 )(x).

4

2880  [a, b]i

Приклад 1. Знайти наближене значення визначеного інтеґрала

і

J sin x2dx.

Утворимо наступну таблицю значень аргументу і функції:

"0" Т

т

~8~

xi

x2

 

x0 = 0.0

0.00

y0 = 0.0000

x1 = 0.2

0.04

y1 = 0.0400

x2 = 0.4

0.16

y2 = 0.1593

x3 = 0.6

0.36

y3 = 0.3523

x4 = 0.8

0.64

y4 = 0.5972

x5 = 1.0

1.00

y5 = 0.8415

x6 = 1.2

1.44

У6 = 0.9915

x7 =1.4

1.96

y7 = 0.9249

x8 = 1.6

2.56

У8 = 0.5487

• !-=--1--1-

Вона відповідає поділу відрізка [0,1.6] на n = 8 частин довжини

h = (b - a )/ 8 = (1.8 - 0.0V 8 = 0.2.

За формулою (1)

I * 0.2• (y0 + y1 +... + y7) = 0.2• 3.9067 = 0.7813 * 0.78 * 0.8. За формулою (2)

I * 0.2• (y1 +... + y7 + y8) = 0.2• 4.2488 = 0.8911 * 0.89 * 0.9. Використовуючи формулу (3), ми беремо 2n = 8, n = 4, h = (b - a )/ 4 = (1.6 - 0)/4 = 0.4,

і тому

I * 0.4•(y1 + y3 + y5 + y7)= 0.4• 2.1587 = 0.8635 * 0.86. За формулою (4)

I * 0.2-I y4y8 + y + У2 + У3 + У4 + У5 + У6 + У7] = 0.2 4.1811 = 0.8362* 0.84.

I

i

Формулою (5) ми скористаємось двічі. Спочатку ми поділимо відрізок [0,1.6] на 2n = 4 частин,

x0 = 0.0 , x1 = 0.4 , x2 = 0.8 , x3 = 1.2 , x4 = 1.6 ,

Відповідно

y0 = 0.0000, y1 = 0.1593, y2 = 0.5972, y3 = 0.9915, y4 = 0.5487, h = (b - a)/(2n)=(1.6 - 0.0V4 = 0.4,

і тому

I * h((y0 + У4) + 4 (y1 + y3) + 2 y2) = 034 ((0.0000 + 0.5487) + 4 •(0.1593 + 0.9915) + + 2 0.5972) = 04 6.3463 = 0.8462 * 0.846.

3

Поділивши тепер відрізок [0,1.6] на 2n = 8 частин, h = (b - a)/(2n) = (1.6 - 0.0V8 = 0.2,

маємо

I * 3 ((y0 + y8 )+ 4 ^ (y1 + y3 + y5 + y7 )+ 2 ^ (y2 + y4 + y6 )) =

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1