2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 8

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

де y = f (и), и = cp(x). Якщо

lim^(x) = b і lim f (u) = ^4,

x—a u—b

то існує границя функції в точці a, яка дорівнює А,

limf (p(x)) = А.

x—a

■Доведення властивості зручно здійснити в тій формі означення границі, про яку йшлося в зауваженні 4 пункту 1.2.1. Оскільки

lim f ) = А,

u—b

то

Vє > 0, Зу > 0, Vu є D(f): {0 < |u - b| < у =>| f (u)-А < є}

Оскільки, далі,

lim p(x) = b,

x—a

то для названого у > 0

38 > 0, Vx є D(p): {0 < |x-a| < 8 == |p(x)-b\ < у} З цих двох співвідношень випливає, що

Vє > 0,38 > 0, Vx є D(f (p(x))): {0 < |x - a| < 8 == | f (p(x))- А| < є} а це означає, що

limf (p(x)) = А ^

x—a

Приклад. Знайти границю

1

lim ex-2.

x—2

Введемо позначення

u = p(x) = —-—, y = f (u) = eu, x-2

так що треба знайти в точці x = 2 границю складеної функції

y = f (p(x)) = ex-2. Тут необхідно виокремити випадки прямування до 2 зліва і справа.

lim p(x)= lim-= +00, lim f (u)= lim eu = +оо=> lim f (p(x))= lim ex-2 = +00

x—2+0 x—2+0 x - 2 u—+oo     4  7     u—+oo x—2+0 x—2+0

. . 1 . . . . —

lim p(x)= lim-= -00, lim f (u)= lim eu = 0 => lim f (p(x))= lim ex-2 = 0.

x—2-0 x—2-0 x - 2 u—-oo     v u—-m x—2-0 x—2-0

Таким чином,

. Г+ да, if x 2 + 0,

limex 2 = <j

x—2 I 0, if    x 2 - 0.

Означення 23. Дві функції f (x), g (x) називаються еквівалентними в де­якому граничному переході f (x) ~ g(x), якщо границя їх відношення дорівнює одиниці.

Так, для випадку x a еквівалентність функцій f (x) і g (x) означає, що

lim^ = і.

3. При відшуканні границь ми можемо замінювати співмножники еквіва­лентними їм.

■ Нехай, наприклад, f (x) ~ h (x), g (x) ~ k (x) при x a, і

lim f (x)u( x)w( x) = b x—a    g(x)v(x) '

Помножаючи чисельник і знаменник на добуток h(x )k (x), матимемо b = i;m f (x)u(x)w(x) = i;m f (x)k(x)h(x)u(x)w(x) =

Отже, ми замінили множники f (x), g (x) еквівалентними їм множниками h (x), k (x), і це не змінило результат граничного переходу.^

Властивість 3 може полегшувати відшукання границь, якщо ми заміню­ватимемо співмножники еквівалентними їм, але простішими.

Г. Властивості нескінченно великих

1. Якщо f (x) — +00, g(x) — +00 , то f (x) + g(x) — +00 .

■Нехай, наприклад,

lim f (x) = +oo,   lim g(x) = +oo.

Тоді за означенням нв, які прямують до + оо,

W > 0,3£/,, Vx є D(fD(g):

В символічному запису властивість має вигляд

(+ о) + (+ о) = +о. 2. Якщо f (x) ±оо, g (x) + о, то f (x)-g (x) —±00.

В символічному запису

  да) — (+ да) = +да. Зауваження. Ситуації, виражені символами,

(±да) —(±да) або (±да)+(+ да), належать до невизначеностей і потребують спеціального розгляду. 2. нв вн =нв, тобто добуток двох нв є нв. Символічно

да • да = да .

Зауваження. Частка двох нв дає нам невизначеність типу

да да

4. Нехай f (x), g (x) - дві функції, перша з яких є нв при x a, а друга має ненульове значення або ненульову границю в точці a (g(a) = b Ф Оабо ж limg(x) = b Ф 0). Тоді добуток f (x) g (x) цих функцій є нв при x a.

x—a

Аналогічна властивість є справедливою і для іншіх типів граничного пе­реходу. Її символічний запис

b да = да, якщо b Ф 0. Зауваження. Якщо ж b = 0, отримуємо невизначеність типу

О •да.

Зауваження. Зберемо до купи всі вищезгадані типи невизначеностей:

0, да, (±да) —(±да), (±да)+(+ да), 0 •да. О да

Нижче до них приєднаються ще декілька типів. Приклад. Знайти границю

С 2 x2 + 3x +1__2_ ^

1 — x3       1 — x

A = lim

x—1

Спочатку проаналізуємо умову. Функції 1 — x3,1 x є нм при x — 1, а тому дроби

1 1

1 x3'   1 x

є нв. Помножаючи їх, відповідно, на тричлен 2x + 3x +1, який має в точці x = значення 6 Ф 0, і на 2 Ф 0, отримаємо функції, які фігурують в прикладі в дуж­ках і які на підставі властивості 4 є нв при x 1. Помічаючи далі, що обидві функції мають в точці x = 1 одні й ті ж ліву і праву границі (+ да і — да відповід­но), доходимо висновку, що ми маємо справу з невизначеністю типу

(±да) —(±да).

Для її розкриття розпочнімо з зведення дробів до спільного знаменника, а далі діятимемо за ситуацією.

С   2x2 + 3x +1        2 ^       С2x2 , 3x , 1   2(1 , x , x2

a=lim

x—1

[(1 x )(1 + x + x2)   1 x J   xm [      (1 x )(1 + x + x2)

2 x2 + 3x +1 — 2(1 + x + x2)

= lim|

x—1

( x 1 ^ f

(1  x )(1 + x + x2) J     ^ [(1  x )(1 + x + x2),

1 x

= — lim 7-rr = .

x1 (1 + x + x2) 3

Приклад. Многочлен n-го степеня

Pn (x) = a0 + a1x + a2x2 +... + an—1xn—1 + anxn, an Ф 0,

при x — ±да є нв, причому еквівалентною своєму старшому члену anxn

Виносячи xn за дужки, отримуємо добуток

P (x) = xn •f^+ Д- +      +... + an1 + anI

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1