2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 80

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

= 02 12.6795 = 0.8453 * 0.845.

3

Корисно порівняти всі отримані результаті з відомим наближеним зна­ченням того ж інтеґрала з точністю до 10-10, а саме:

і

I = J sin x 2dx * 0.8452689707.

8. НЕВЛАСНІІНТЕҐРАЛИ

8.1. НЕВЛАСНІ ІНТЕҐРАЛИ ПЕРШОГО РОДУ

Означення 1. Нехай функція f (x) неперервна на нескінченному інтерва­лі [а;+оо]. Якща існує скінченна границя

b

lim J f (x)dx <c, ( 6 )

ми кажемо, що наступний інтеграл (невласний інтеґрал першого роду, інтег­рал з нескінченною верхньою межею)

-t-uu

j f (x )dx ( 7 )

збігається.

Таким чином, за означенням 1

+c b

j f (x)dx = lim J f (x)dx. ( 8 )

Означення 2. Якщо границя (6) нескінченна або не існує, ми кажемо, що невласний інтеграл (7) розбігається.

В такий же спосіб ми можемо означити ще два невласних інтеґрала пер­шого роду.

Означення 3.

a a

j f (x)dx = lim j f (x)dx, ( 9 )

якщо функція f (x) неперервна на інтервалі (-ac, a\ Означення 4.

b

j f (x)dx = j f (x)dx + j f (x)dx = Hm j f (x)dx, ( 10 )

ac С

якщо функція f (x) неперервна на множині всіх дійсних чисел.

Невласний інтеґрал (9) називається збіжним, якщо скінченна границя в (9) існує, в противному разі - розбіжним. Те ж саме стосується к невласного інтеґ­рала (10).

Означення 5. Головним значенням (в розумінні Коші) невласного ін­теґрала (10) називається наступна границя:

p.v. j f (x)dx = j f (x)dx = v.p. j f (x)dx = lim j f (x)dx

( 11 )

-b

Якщо невласний інтеґрал (10) збігається, то збігається й його головне значення. Але трапляються випадки, коли інтеґрал (10) розбігається, а в той же час його головне значення збігається.

Приклад 2. Невласні інтеґрали

j ddx {a > 0), j ddx {a < 0), p еШ

xx

a -ac

збігаються при p > 1 і розбігаються при p < 1. ■Розглянемо перший інтеґрал.

а) Якщоp > 1, ми можемо покласти p = 1 + а, де а > 0, і тому

( 12 )

j <dxx = jjfa =      j й+— =      j x 1 adx = lim

dx

x

■i-limU- - 

а bi+c\yb- 1 '0 1

a

bi+c а

1

= - -lim (b- - a -- ) =

1

a01 )   аaа    (p - 1)a <c,

тобто при p > 1 інтеґрал збігається.

б) Нехай p = 1. В цьому випадку інтеґрал розбігається. Дійсно,

dx dx j = lim j = lim ln x

= lim (ln b - ln a) = +c.

в) Якщо p < 1, ми покладаємо p = 1 - а, де а > 0, і тоді

ldxx = Т-^ = lim j ^ = lim j x^dx = lim

dx Г   -1 ,        , x

= -lim --a<x )=+ю.

Інтеґрал розбігається.^

Приклад 3. Довести, що невласний інтеґрал

' p.v. - скорочення з англійської principal value , v.p. - з французької valeur principale (головне значення)

1

b

a

b

a

b

Невласні інтеґрали j sin xdx

- go

розбігається, але його головне значення збігається (до нуля). ■На підставі формули (10)

j sin xdx = lim j sin xdx = - lim

cos x

= - lim (cos b - cos c) = - lim cos b + lim cos c.

Обидві границі не існують, і тому інтеґрал розбігається. З іншого боку, його го­ловне значення на підставі формули (11) дорівнює

p. j sin xdx = lim j sin xdx = - lim cos x

b

lim (cosb - cos(-b)):

b

= - lim (cosb - cosb) = 0,

тобто збігається до нуля.^

Приклад 4. Знайти площу нескінченної фігури, обмеженої кучерем Аньєзі1

У-

1

1 + x2

Рис. 6 і його асимптотою (рис. 6).

Пряма y = 0 (вісь Ox) є горизонтальною асимптотою кучеря Аньєзі, бо

lim= lim     = 0.

Фігура симетрична відносно осі Oy, і тому її площа дорівнює

S = 2 = 2 lim dx

= 2 lim arctan x

= 2 lim arctan b = 2 = n.

Зауваження 1. Нехай функція F (x) - якась з первісних функції f (x). Вводячи позначення

F (+c)= lim F (x),

b

c

b

b

2

0

1 Аньєзі Марія Гаетана (1718 - 1799) - італійський математикми можемо подати обчислення невласного інтеґрала (8) у вигляді формули Ньютона - Лейбніца, а саме:

+c b b

j f (x)dx = lim j f (x)dx = lim F(x)  = lim (F(b) - F(a))= lim F(b)- F(a) =

a a a

= lim F(x) - F(a) = F(+ c) - F(a) = F(x) .

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1