2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 81

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

a

Таким чином,

j f (x )dx = F (x) ( 13 )

Таку ж саму формулу Ньютона-Лейбніца можна записати і для інших не­власних інтеґралів.

Приклад 5.

dx

lim

1l = -(0-1) =1.

-t-uu

j

Приклад 6.

dx      1 x = — arctan

4 + xL    2 2 Приклад 7. je~a cos bxdx =

0

' e'™ (b sin bx-a cos bx)

= — \ lim arctan lim arctan— I =

21 xi+c 2   xi-c 2 J 2

go V /

'' (b sin bx-a cos bx)

a2 + b2

= lim

xic

a

a2 + b2

a2 + b2

=0+

a2 + b2    a2 + b2

при a > 0;

аналогічно (при a > 0)

-t-uu

j e~ a sin bxdx =

; (- a sin ax-b cos bx)

a

+ b2

a2 + b2

Зауваження 2 (заміна змінної і інтеґрування частинами в невласному інтеґралі першого роду). При обчисленні невласних інтеґралів першого роду ми можемо використовавати заміну змінної та інтеґрування частинами.

Приклад 8. Обчислити невласний інтеґрал

a

+c

1

x

2

x

2

2

e

0

a

a

b

e

dx

або встановити його розбіжність.

+c x

r e dx

e2x+1

ex = y,

c

+c

exdx = dy y

0

+c

dy

Ї01+y y

= arctan y

= - 0 = .

22

Інтеґрал збігається до — 2. Приклад 9.

dx

42 x^x

x2-1 = y2, y > 0, xdx = ydy, x2 = 1 + y2 y

+c

dy

x

42

+ cc

y

1

+ cc

xdx

= arctan y

42x Vx

n   n n

24xY-1

f ydy

244

11 + y

Обчислимо той же інтеґрал іншим способом, застосовуючи тригономет­ричну підстановку.

dx

42 Wx2 -1

1

cos t

dx

- sin tdt   sin tdt

cos21

cos2 t

x 2-1 =

cos2 t

-1 =

1  cos2 t   sin2 t

cos2 t

cos2 t

x

42

+ cc

t

— 4

—2

sintdt cos21

sint

cos t cos t

j dt = t n   n n

2   4 4

Відзначимо, що заміна змінної привела тут невласний інтеґрал до звичай­ного (можна назвати його власним). Приклад 10.

dx

ln x = y, dx

= dy, x

x

e

+ cc

y

1

+ cc

dy

T2

2

= 2.

Поряд з невласними інтеґралами від неперервних функцій по нескінчен­ним інтервалам інтеґрування (тобто невласними інтеґралами першого роду) розглядають інтеґрали по скінченним інтервалам інтеґрування, але від розрив­них функцій, так звані невласні інтеґрали другого роду.

x   , -x

e + e

+c

0

+c

x

1

1

4

8.2. НЕВЛАСНІ ІНТЕҐРАЛИ ДРУГОГО РОДУ

Означення 6. Нехай функція f (x) неперервна на одній з таких множин: а) півінтервал [a, b) з вилученим правим кінцем b; б) півінтервал (a, b\ з вилу­ченим лівим кінцем a; в) об"єднання півінтервалів [a, c)U (c, b\ з вилученою внутрішньою точкою c. Названі точки b, a, c є точками розриву функції (здебі­льшого другого роду). Означають такі три невласні інтеґрали другого роду (інтеґрали від розривних функцій по скінченному інтервалі інтеґрування):

b b-s

j f (x)dx = Urn j f (x)dx; ( 14 )

aa b b

j f (x)dx = Urn j f (x)dx; ( 15 )

a a+s b c b f c-S1 b

j f (x~)dx = j f (x)dx + j f (x~)dx =   lim \ j f (x)dx + j f (x~)dx

( 16 )

a a c у a c+S2

Поняття збіжності або розбіжності вводяться таким же чином, як і для не­власних інтеґралів першого роду.

Означення 7. Головним значенням невласного інтеґрала (16) назьіває-ться така границя:

b b f c-s b \

p.v.j f (x)dx = v.p.j f (x)dx = lim \ j f (x)dx + j f (x)dx . ( 16 )

a a V a c+s J

Приклад 11. Невласні інтеґрали другого роду

a b b b

dx dx dx dx

0

j (b-xf   2~ j (x-a У   3~ j (x-c )p збігаються при p < 1 і розбігаються при p > 1.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1