2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 82

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

■Розглянемо для означеності перший інтеґрал ,0. a) Якщо p = 1, маємо

a dx a dx

,0 = \ = lim І = lim (lnla -lns)=c

0       x      i0+0    x i0+ (розбіжність);

b) У випадку p Ф1

,0 = j x pdx = lim j x pdx = —1— lim (a

0      J s—0+0J _ r> 4-1 s—0+0 4

- p + 1 s

1 )=

a

1-p

Ф c, если p < 1,

1-p

c, если p > 1

(збіжність при p < 1 і розбіжність при p > 1).^

Приклад 12. Дослідити на збіжність невласний інтеґрал

2 dx

x2 - 4 x + 3

(з точкою розриву другого роду x = 1). Подамо інтеґрал у вигляді

dx

j x2-4x + 3 ~\(x-1)(x-3) = 2j f x-3   x-1 Jx = 2[\, x-3   j x-1

.0 x   3 0

Перший інтеґрал - звичайний (власний), бо його підінтеґральна функція непе­рервна на відрізку [0, 2\, а другий - невласний і розбіжний (p = 1). Отже, даний

інтеґрал розбігається.

Приклад 13. Знайти головне значення розбіжного інтеґрала другого роду

1

-2

dx x

На підставі означення 7

.p.j

dx

=      \\ j dx + r dx і і x   і x

s->0+0

V-2

lim

s->0+0|

f

-e

1Л

іП x

+ іП x

 

V

2

s J

Рис.7

= lim (lnl-S-lnl-2 + ln1-lns)= lim (lns-lns-ln2)= -ln2

si0+0v    1       1 1       1 ' si0+0

Приклад 14. Знайти площу нескінченної фігури, обмеже­ної лініями y = 14x, x = 0, x = 1, y = 0 (рис. 7).

S = j dx =       j dx = 2 Hm        = 2(1 - lim 4s )= 2.

J J x      s->0+0J \x s->0+0 v      s->0+0 '

4x

s->0+0J ..jx

Зауваження 3 (формула Ньютона-Лейбніца). Обчислення невласного

x

єінтеґрала другого роду, як і першого, можна подати у вигляді формули Ньюто-на-Лейбніца. Нехай, зокрема, функція f (x) неперервна на інтервалі [a, b), а для довільної її первісної F (x) покладено

F(b )= lim F(x).

x-b-0

Тоді

b

f (x)dx = lim    f (x)dx = lim F(x)    = lim F(b - s)-F(a) =

a a a

b

= lim0F(x)-F(a)== F(b)-F(a) = F(x) ,

a

bb j f (x )dx = F (x) .

xib 0

Приклад 15. j

dx = 2(1 - lim Vx)= 2(1 - 0) =

2.

Приклад 16. Для довільного додатного числа a

dx x :;;^^= = arcsin

a2 x2 a

xx

= lim arcsin--lim arcsin — =

xia 0 a     xi a+0 a

= lim arcsin — - lim arcsin — = arcsin1 - arcsin (-1) =

x-a a   x--a        a 2 = n.

Зауваження 4 (заміна змінної і інтеґрування частинами). Як і при об­численні невласних інтеґралів першого роду, ми можемо використовувати як заміну змінної, так і інтеґрування частинами.

Приклад 17. Інтеґрали ,1, ,2 (див. формулу (17)) можна заміною змінної привести до інтеґрала ,0. Зокрема,

, = b dx

(b - x))

b   x = y, x

a

b

dx =  dy, y

b - a

0

0     j        b-a 1

dy dy

j Ъ j

-a y

-a

y

,0.

Приклад 18. За допомоги інтеґрування частинами дістаємо

j x ln xdx -

0 ln x = u, xdx = dv,

.     dx       x1 du = , v = x 2

f x x

ln x

1     1 ..2

x dx

00

---= - lim

2   x      x-0+01

fx2

ln x

V

x 4

1 4.

a

0

a

-a

8.3. ОЗНАКИ ЗБІЖНОСТІ НЕВЛАСНИХ ІНТЕҐРАЛІВ

В багатьох питаннях, де мають справу з невласними інтегралами, голов­ною проблемою є не знайти значення інтеґрала, а тільки встановити факт його збіжності або розбіжності. Цій меті послуговують так звані ознаки збіжності (або розбіжності), до вивчення яких ми приступаємо.

Ми встановимо низку відповідних ознак для невласного інтеґрала вигля­ду

+00

j f (x )dx,

a

але вони залишаються справедливими і для інтеґралів всіх інших розглянутих вище типів.

Теорема 1 (ознака порівняння для невід"ємних функцій). Нехай для не­перервних на інтервалі [a, + 00) невід"ємних функцій f (x), g(x) і достатньо ве­ликих значень x виконується нерівність

0 < f (x)< g (x).

Якщо невласний інтеґрал функції g (x) по інтервалу [a, + со) збігається, то збігається і інтеґрал функції f (x) по цьому ж інтервалу. З іншого боку, якщо інтеґрал функції f (x) розбігається, то розбігається й інтеґрал функції g (x).

■Припустимо, наприклад, що збігається інтеґрал функції g (x), тобто

+00

j g (x )dx = I о,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1