2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 83

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

a

і, задля простоти, що вказана нерівність виконується для всіх x > a . Звідси ви­пливає, що для будь-яких b > a

b b

j f (x )dx <j g (x )dx < I

a a

і тому існує границя

lim} f (x )dx <I.

Це означає, що інтеґрал функції f (x) збігається.^ Приклад 19. Невласний інтеґрал

dx x3 +1

1

на підставі теореми 1 збігається , оскільки при всіх x таких, що x > 1, виконує­ться нерівність

1 1

-<

x +1 x

а інтеґрал

+00 j

dx

\ x3

збігається (як інтеґрал типу (12) при p = 3 > 1). Приклад 20. Інтеґрал

+с°   4 і

rx +1 dx

за тією ж теоремою розбігається, бо для будь-якого x > 1

x4+l > х^ = І

а інтеґрал

dx x

1

розбігається (як інтеґрал того ж типу (12) при p = 1). Приклад 21. Довесті збіжність інтеґрала

+00

   _ 2

e x dx.

—00

■Перепишемо інтеґрал у вигляді суми звичайного і двох невласних інтеґ-

ралів

+00 —1 1 о

j e x dx = j e x dx + j e~x dx + j e~x dx.

Невласті інтеґрали (перший і третій) збігаються за теоремою 1, бо

x2      ,         2           _x2         1               1 1 eX   > 1 + x   => e      =—r <-- <,

ex     1 + x x

а інтеґрали

1     7 +00

rdx г dx , j ^   j ^ (p = 2 >1)

2 '      I 2

x     J. x

— 00 1

vx

збігаються. Отже, і даний інтеґрал збігається.^

Приклад 22. Доведіть самостійно розбіжність інтеґрала

J ln(x2 + 1)

1

Вказівка. Взяти до уваги, що для всіх x > 1 виконується нерівність

ln (x2 +1)> ln2. Приклад 23. Дослідити на збіжність невласний інтеґрал

+0

dx . j ln(x +1).

Для довільного додатного x

ln(x +1)< x =>     1 >

1

ln(x +1) x'

і за теоремою 1 даний інтеґрал розбігається через розбіжність інтеґрала

dx x

Теорема 2. Нехай для неперервних на інтервалі [a, + 00) функцій p(x), f (x), |(x) і достатньо великих x маємо

cp(x )< f (x )< |(x).

Якщо збігаються інтеґрали функцій p(x) і |(x), то також збігається і ін-теґрал функції f(x).

■Справедливість теореми випливає з нерівності 0 < f (x) p(x )< |(x)_ p(x)і теореми 1.^

Теорема 3 (абсолютна збіжність невласного інтеґрала). Якщо для функ­ції, неперервної на інтервалі [a, + да), збігається інтеґрал

+0

j| f (x) dx

від її абсолютної величини, то інтеґрал від самої функції

+0

j f (x )dx

також збігається і називається абсолютно збіжним.

■Доведення випливає з очевидної нерівності

 I f (x)< f (x )<| f (x )

і теореми 2.^

Приклад 24. Довести абсолютну збіжність невласного інтеґрала

+0

r sin xdx

1x

Інтеґрал від абсолютної величини підінтеґральної функції збігається за теоремою 1, оскільки

sin x

FF

а інтеґрал

+0

jdxx  (P = 2 > 1)

1x

збігається. Отже, даний інтеґрал абсолютно збігається.

Приклад 25. Дослідити самостійно на абсолютну збіжність наступні не­власні інтеґрали:

cos axdx   r sin bxdx

sin x 1

    2   2' x8.4. ГАМА-ФУНКЦІЯ ЕЙЛЕРА

Означення 8. Гама-функцією (або Г - функцією) Ейлера називається та­ких невласний інтеґрал

Г(а)=|

xa-le-xdx ( 18 )

В повних курсах математичного аналізу доводиться, що Г-функція непе­рервна зі всіма своїми похідними для будь-якого а > 0. Відзначимо деякі властивості Г-функції. 1) Г(1) = 1.

+СО +GO / \

■ Г(1) = f є' xdx = -e'x    = -(llm e -x - 1Ы.и

2) Г(а +1) = а-Г(а).

■ Г(а +1)= j xa є xdx ■■

u = xa, dv = є xdx, du = axa-1dx, v = -e

0 0

+GO +oO

= -(xae-x)   -jaxa-1 (- e~x )dx = а j xa~le~xdx • Г(а)^

3) Для натуральних значень а, а = n є N властивість 2 набуває вигляду

Г(и +1) = n!

■ Г(п +1) = пГ(п) = n(n - 1)Г(п -1) = n(n - 1)(n -2)г(п - 2) =... = = n(n - 1)(n - 2)-... • 3 • 2 -1 -Г(Г) = n!^1 = Означення 8. Г(а +1) = а!

Згідно ж цим означенням Г -функція є поширенням на множину всіх до­датних дійсних чисел відомої факториіал-функції

n! = 1-2 • 3 •... • n,

визначеної на множині всіх натуральних чисел. Приклад. 0! = 1.

■На підставі означення 8 маємо 0! = Г(1) = !.■

9. ПОДВІЙНИЙ ІНТЕҐРАЛ

О к

9.1. ПОДВІЙНИЙ ІНТЕҐРАЛ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

Означення 1. Нехай функцію двох змінних z = f ) = f (x, y) задано в деякій області D площини xOy (рис. 1).

1. Поділимо область на n частин AD., i = 1, n, з площами AS- і діаметрами X = max ІМ^І.

М, N eADil 1

2. Візьмемо довільну точку М\ (xt; y t) в кожній частині ADi, знайдемо значення функцаї в цій точці та помножимо його на площу AS i цієї частини ADi.

3. Додамо всі отримані добутки Рис. 1 f (М, )ASi = f(x,, y, )ASi

і отримаємо інтегральну суму (інтегральну суму Коші-Рімана)

° = S f (М. )AS,  f (xi, у . )AS,.

,=1 ,=1

4. Нехай X = max{A;} і X —» 0. Якщо існує границя інтегральної суми а,

i=1, n

то він називається подвійним інтегралом функції z = f )= f (x, y) по області D і позначається

\\      )dS = \\ f(x, y )dxdy = lim а = lim £ f (x,, y, )AS, ( 1 )

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1