2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 84

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

D D ,=1

Ми можемо трактувати подвійний інтеграл як суму елементів f (x, y )dS, де dS = dxdy - елемент площі.

Теорема 1 (існування подвійного інтеграла). Якщо підінтегральна функ­ція z = f )= f (x, y) неперервна в області D, то подвійний інтеграл по ній іс­нує.

Очевидно, що для випадку f )= f (x,y ) = 1 подвійний інтеграл дає пло­щу області D,

Подвійний інтеграл S = SD =|| dxdy.

J98 ( 2 )

Механічний сенс подвійного інтеграла. Якщо у(М) = y(x, y) > 0 - по­верхня густина пластинки D a xOy, то її маса дорівнює подвійному інтегралу

m = JJ у(М )dS = JJ y(x, y )dxdy ( 3 )

D D

■Елемент маси

dm = у(М )dS = y(x, y )dS є масою елементу dD a D з площею dS і сталою поверхне­вою густиною у(М)= y(x, y), М(x,y dD (рис. 2). Сума всіх цих елементів дає масу пластинки, зображену подвійним Рис. 2 інтегралом (3).^

Означення 2. Циліндричним тілом [криволінійним циліндром] назьває-

ться тіло, обмежене:

a) зверху - поверхнею z = f (x,y)> 0;

b) знизу - областю D площини xOy;

c) збоку - циліндричною поверх­нею з твірною, паралельною до осі Oz, і напрямною, яка є границею області D

Рис. 3 Рис. 4

(див. рис. 3).

Геометричний сенс подвійного інтеграла. Об"єм циліндричного тіла до­рівнює подвійному інтегралу

V = \\ f(x, y )dxdy. ( 4 )

D

■Елемент об"єму

dV = f )dS = f (x, y )dS є об"єм прямого циліндра з основою dD a D площі dS і висотою

ДМ )= f(x, y), М (x, y) є dD (рис. 4).

Об"єм циліндричного тіла дорівнює сумі всіх таких елементів і дається подвій­ним інтеґралом (4).и

Властивості подвійного інтеґрала аналогічні влас­тивостям визначеного інтеґрала. Зокрема:

1 (лінійність). Для будь-яких інтеґровних функцій Рис. 5 /1 (х, y), /2 (х, У) і довільних сталих £1, £2

Kf\ (х, У) + К /2 (х, У ))dxdy = £ jj /1 (х, y )dxdy + £2 jj /2 (х, У )dxdy.

D D D

2 (аддитивність відносно області інтеґрування). Якщо область D поділе­но на дві непересічні частини

D = D1 UD2, D1 ПD2 = 0, (рис. 5), то подвійний інтеґрал по всій області дорівнює сумі інтеґралів по її частинах.

9.2. ОБЧИСЛЕННЯ ПОДВІЙНОГО ІНТЕҐРАЛА В ДЕКАРТОВИХ КООРДИНАТАХ

Означення 3. Область D називається областю першого типу, якщо вона обмежена (див. рис. 6):

a) зліва - прямою х = a;

b) справа - прямою х = b;

c) снизу - лінією y = y (х);

d) зверху - лінією y = У2(х), Рис. 6             D = {(х,У) :a < х < b, Ух є (a, b)(yx(х) < y < у2 (х))}.

4 зс

Подвійний інтеґрал по області першого типу обчислюється за формулою

b       y2(х)

jj /(х, y)dcdy = j сіх j /(х, y)dy.

y1 {?

( 5 )

V відповідності до неї ми спочатку інтеґруємо по y від

VI ) до У2 (х), тобто обчислюємо так званий внутріш­ній інтеґрал

Рис. 7 а потім інтеґруємо результат по х від a до b.

■Ми доводитемо формулу (5), виходячи з механічного сенсу подвійного інтеґрала. Нехай підінтеґральна функція / (M ) = / (х,У )>0 є поверхневою гус­тиною пластинки, визначеної фігурою

D = {(х, y) :a < х < b, Ух є (a, bХу) < y < у2 (х))} (рис. 6). Отже, маса пластинки вьіражається подвійним інтеґралом

m = jj / (M )dS = jj / (х,у )іхіу .

D D

Знайдемо тепер масу з інших міркувань і порівняємо результати. Маса елементу MNPQ пластинки між х,х + іх і y, y + dy (рис. 7) дорівнює

/ (M )ЛхЛу = /(х, y )ЛхЛу. Підсумовючи всі такі маси від у^(х) до У2), знаходимо масу заштрихованої смужки (рис. 7), тобто

у2(х) y2(х)

dm = j /(х,у )іхіу = іх j /(х,у)dy.

уі(х) yi( х)

Підсумовючи тепер маси всіх таких смужок від х = a до х = b, отримуємо масу всієї пластинки

b ґ      у2(х) ^       b        y2(х)

m = j іх j / (х,у )dy I = j іх j /(х,у )dy.

a V   уі(х) J   a    уі(х)

Порівняння результатів знаходження маси доводить справедливість формули

Зауваження 1. Інтеґрал по х від a до b називається зовнішнім. Права час­тина формули (5) називається повторним інтеґралом.

Означення 4. Область D називається областю другого типу, якщо вона обмежена (див. рис. 8):

a) знизу - прямою y = c;

b) зверху - прямою y = d;

c) зліва - лінією х = х1 (у);

d) справа - лінією х = х2 ), D = {(х, y) :c < y < d, Уу є (c, d)(хі (y) < х < х2 ))}.

Рис. 8 Подвійний інтеґрал по області D другого типу

обчислюється за формулою

d      х2 (y)

jj / (х, У )іхіу = j dy j / (х, y )іх. ( 6 )

Спочатку ми обчислюємо внутрішній інтеґрал

х2(y)

j / (х, У )іх,

х1(y)

інтеґрал по х від х1 (у) до х2 (у), а потім інтеґруємо результат по y від c до d.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1