2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 85

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

■Доведіть цю формулу самостійно.^

Приклад 1. Нехай областю інтеґрування є пря­мокутник

Rabcd = ^ У) : a < х < b, c < У < d}

з сторонами, паралельними до осей Ох, Oy (рис. 9). Рис. 9 Такий прямокутник є областю обох типів, тому ми

можемо застосувати обидві формули (5) і (6),

If

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b і d b

jj / (х, У )іхіу = j іх j / (х, у )dy = j dy j / (х, y )іх.

( 7 )

Rabcd

Формула (7) означає, що у випадку прямокутника Rabcd ми можемо інтеґ­рувати в будь-якому порядку. Але на практиці один з порядків інтеґрування може виявитись кращим іншого.

Приклад 2. Знайти масу пластинки

Рис. 10

R = |(х,y) :-6 < х < 3,ln3 < y < ln(рис. 10)

з поверхневою густиною у(х, у) = 12ye66ху .

Будемо шукати масу за формулою (3). Об­ласть інтеґрування R - прямокутник з сторонами, паралельними координатним осям. Застосовуючи формулу (7) для подвійного інтеґрала, отримуємо

ln 4     з ln 4 з

m = jj у(х,У У)іхіи = jjl2 ye6 ^іхіу = 12 j dy j ye6 ^іх = 12 j ydyj e6 ^іх =

R

R

1

З і

j e6 хУіх = e6 хУ

і

6

6

ln З і 6

ln З і 6

Iln 4        1 ln 4

= і2 j y-6-(e2y - ey)dy = 2 j(e2y - ey)dy = ln З     6 У ln З

= 2 -e2y - ey 2

ln4

ln3

2(e 2

ln4 — e 21n3

)-(e- -e-)] = 2f 1 (16-9)-(4-3)1 = 5.

Інший порядок інтеґрування набагато гірший (перевірте!). Приклад 3. Обчислити двомя способами подвійной інтеґрал

jj 8Іп(3х + 2 y У)іхіу,

D

якщо область інтеґрування D визначена нерівностями

0 < х < ,0 < y <

2

(рис. 11). Вона є областю як першого, так і другого типів.

Перший спосіб. Трактуємо D як область першого типу, тобто таку, яка обмежена: а) зліва - прямою х = 0, б) справа Рис. 11 - прямою х = 2, в) знизу - лінією y = 0, зверху - лінією

У = 3х,

D = |(х,у): 0< х < , Ух єІ0, \(0< y < Зх )1

Застосовючи формулу (5), маємо

2      3 х

jj sin (3х + 2 y У)іхіу = j іх j sin (3х + 2 y )dy =

3 х

j sin (3х + 2y )dy =

3х + 2y = t, 2dy = dt,

y

0

t

"9х

9 х

j sin tdt

3х

= — cos t

2

= 2 (cos3x - cos9 х)

=  j (cos 3х - cos 9х)іх = —

isin3 х - 11 sin 9 х 3 9

2 1

'1.3— 1 . 9— -sin---sin

3     2    9 2

Другий спосіб. Будемо тепер трактувати D як область другого типу, тобто обмежену: а) знизу - прямою y = 0, б) зверху - прямою y = 3—2, в) зліва - лі­нією х = y j 3, г) справа - лінією х = 2,

З—

' зY у < <

2 А З 2

3— —

~2~ і

D = |(х,у): 0< y <^,Vy Отже, за формулою (6) ми можемо записати

jj sin (3х + 2 y \іхіу = j dy j sin (3х + 2 y )іх.

D 0 У

3

Проведіть обчислення самостійно. Приклад 4. Розставити границі інтеґрування в подвійно­му інтеґралі по трикутній області D з вершинами Рис.12 0(0;0), A(5; 4), B(0;8) (рис. 12).

Скламо спочатку рівняння ліній OA і AB.

OA: y = кх; A(5; 4)є OA => 4 = 5к,к = ^4, y =   х, х = у.

,D х-0   y-8  .     _     .„   .       40-4х 40-5y AB:-= --, + 5y-40 = 0, y =- =--.

5 - 0 4 - 8 5 4

Перший спосіб. Область D є областю першого типу, бо обмежена зліва -прямою х = 0, справа - прямою х = 5, знизу - лінією y = 4/5 х і зверху - лінією y = (40 - 4 х V 5,

9х

3х

Подвійний інтеґрал D = {(х, у) :0 < х < 5, Ух є (0, 5)(4/5 х < y < (40 - 4х)/5)}.

Тому за формулою (5)

40-4 х

5 ~^Г~

jj /(х, у)іхіу = j іх j /(х, у )dy.

04

—х

5

Другий спосіб. Щоб застосувати формулу (6), поділимо лінією y = 4 об­ласть D на дві частини D1, D2 другого типу (рис. 12). Якщо ми визначимо їх двома подвійними нерівностями, а саме

' 5 "

4

40-5 y

Д=|(х,у): 0< y <4; Уу є (0, 4^0 < х <4 y | \, D2 ={(х,у): 4 < y <8; Уу є (4, 8)Г0 < х <

4

то будемо мати

jj / (х, y )іхіу = jj / (х, y )іхіу + jj / (х, y )іхіу

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1