2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 86

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

4 4'

d2 40-5 y

8

= j dy j /(х,у )іх + j dy j /(х,у )іх.

0       0 4 0

Приклад 5. Обчислити подвійний інтеґрал

jj^2 + y2 \іхіу

Рис. 13 по області

D = {х,у): 0 < х < і, Ух є (0, і)(л/х < y < ^л/х )}

(рис. 13).

Очевидно, область D є областю першого типу. Прямою y = 1 її можна по­ділити на дві області D1 = OAC, D2 = ABC другого типу, причому

Д=і(х,у): 0< y <і,Уу є(0,і)4- < х < y2

D2=J(x,y): і< y <2, Уу є (і, 2)

ґ у у

< х

5

Шуканий інтеґрал дорівнює сумі двох інтеґралів. Зручно перший з них обчис­лювати по області D як області першого типу, а другий знайти як суму інтеґра­лів по областях D1 и D2 другого типу.

1 2л

jj (х2 + у2 )іхіу = jj х2іхіу + jj у2іхіу = j х 2іх j dy + jj y 2іхіу + jj y2іхіу =

1 24х -2,

D

1 У2

2

D

D1

D2

11

1

2

: j х 2іх j dy + j y 2dy j іх + j y 2dy j іх = j х 2^[хіх + -4 j y 4dy + j y21 1 У

dy

y_

4

4

= хz 7

3 5

+—У

20

+ - У 3

20'

2    3    7   31   128   л ^

= - +— +---=-«1.22.

7   20   3   20 105

9.3. НЕВЛАСНІ ПОДВІЙНІ ІНТЕҐРАЛИ. ФОРМУЛА ПУАССОНА

Ми обмежимось невласними подвійними інтеґралами першого роду, тоб­то інтеґралами від неперервних функцій по нескінченних областяї. Як такі об­ласті ми розглянемо: перший квадрант

R = {(х, у) :0 < х <оо,0 < у < да}, нескінченний прямокутник

Rab ={(х,У):-о< х < a,-да< y < b} і площину х^^у. 9і2 = {(х, y): - о < х < о, - о < y <оо}. Нехай R - перший квадрант, а Dab = OACB = {(х,y): 0 <х<a, 0 <y <b} -скінченний прямокутник з сторонами a і b (рис. 14). Ми означимо невласний інтеґрал по R наступною границею:

да да a b

jj / (х, У )іхіу = j j / (х, y )іхіу = Шп jj / (х, y )іхіу = hm j іх j / (х, y )dy =

Рис. 14

0 0 br-да

да да

00

аа

= aim j dy j / (х, y )іх = j іх j / (х, y )dy = j dy j / (х, y )іх.

0 0 0 0 00

D

7

2

2

2

1

3

5

Як наслідок дістаємо формулу переходу від подвійного інтеґрала до повторного (формулу зміни порядку інтеґрування)

со сс

со со

j j f (x, y )dxdy = j dx j f (x, y )dy = j dy j f (x, y )dx. ( 8 )

0 0 0       0 0 0

Невласний інтеґрал по нескінченному прямокутнику

Rab ={(X, y) : -°< x < a О< y < b)

(рис. 15) означається як границя інтеґрала по скінченному прямокутнику

{(x, y): c < x < a, d < y < b), Рис. 15 Рис. 16     якщо c о, d о, а невласний інтеґрал

по площині xOy - як границя інтеґрала по тому ж скінченному прямокутнику (рис. 16) при a со, b -—со і одночасно c    о, d    о . В результаті отриму­ємо наступні дві формули:

a  b a        b b a

jj f (x, y)dxdy = j j f (x, y)dxdy = j dx j f (x, y)dy = j dy j f (x, y)dx,       ( 9 )

 

 

с

 

'Кав''

/

 

 

0

t

 

 

 

 

a

P

1 j

 

Rab

-co -co

CO CO

-co -co

со со

-сс -сс

-сс -сс

jj f (x, y)dxdy = j j f (x, y )dxdy = j dx j f (x, y)dy = j dy j f (x, y )dx.     ( 10 )

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1