2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 87

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

9?2 —co—co

Приклад 6. Інтеґрал Пуассона

сс со 1 i

I =j e"%x dx = 4n, J = j e"%x dx = -1 = . ( 11 )

0 2 2

 J = j e x dx

x = yt, y > 0, t > 0 dx = ydt

x

0

 

=

t

0

 

 

j Є - y2fydt,

CO

J  e ~y dy = e~y dy j e ~y t ydt.

0

Проінтеґруємо останню рівність по y по інтервалу [0, с),

оо оо

сс

со

сооо ад

go go

J  j e y dy = J2 = j e y dy j e y t ydt =j dy j e y  e y 1 ydt =j dy j e

,-y2 (1+12)

ydt

go go

0 0

-y2 (i+t2)

ydy -y2 (l +12 )= z,-2 y(l +12 )dy = dz\

7 dz

ydy = -:

y

0

ад

z

0

— ад

ад —ад

00

^(l+t2)

dz

j-^dt jezdz = j--dt jezdz

2J01 +12    J 2J01 +12 J

0 - ад 0 - ад

Таким чином, ми довели, що

arctan t

■e

>-( n-0 ](1-0) = -

J2 = n

а отже

т   Ft   т г J =-, I n.

2

9.4. ПОДВІЙНИЙ ІНТЕҐРАЛ В ПОЛЯРНИХ КООРДИНАТАХ

Розглянемо подвійний інтеґрал

jj f (x, y )dS = jj f (x, y)dxdy

D D

по області D площинии xOy і перейдемо до полярних координат

x = pcosgo, y = psingo, x2 + y2 = p2, ( 12 )

суміщаючи полюс O з початком координат O(0; О), а полярну вісь Op - з дода­тною піввіссю осі Ox декартової системи координат. Область D перетворюється в деяку область А площини cpO'p, а даний інтеґрал - в подвійний інтеґрал по області А.

Щоб побачити, як при цьому перетворюється елемент площі dS, утворимо елемент dD області D двома колами радіусів p, dp з центром в полюсі и двома променями, які виходять з полюса під кутами p, p + dp до полярної осі (див. рис. 17 а). Ми можемо розглядати dD як криволінійний прямокутник PQRT пло­щі

z

0

ЗО

0

— оо

dS = SPQRT = PT PQ = dp pdp .

Таким чином,

dS =pdpdp,

і формула переходу до полярних координат в подвійному інтеґралі може бути записана наступним чином:

jj f (x, y)dxdy = jj f (pcosp, psinp)pdpdp. ( 13 )

D А

В застосуваннях ми часто зу­стрічаємось з областю D, обмеже­ною двома променями

p = a,p = В < В)    ( 14 ) і двома лініями, які мають в поляр­них координатах рівняння

p = p (p\ p = p2 (p). (p (p) < p2(p)) ( 15 )

(рис. 17 а). Можна описати таку область двома подвійними нерівностями

а < p< В,   Vpe(a,p): p,{p)< p< p2p), ( 16 )

звідки випливає, що область А с pO'p (рис. 17 b), в яку перетворюється область D після переходу до полярних координат, є областю першого типу. Тому на

р О'1 Рис. 17

підставі формули (5)

В p2(p)

jj f (x, y )dxdy = j dp j f (pcosp, psinp)pdp

D a       p (p )

( 17 )

Якщо лінія p = p1(p) вироджується в

полюс O, отримуємо криволінійний сектор D, обмежений двома променями

p= a,p = В (а< В) ( 18 )

і лінією

Рис. 18 p = p(p)

(рис. 18 а). Ми визначаємо його нерівностями

( 19 )а< p< В,   Vp^a^) :O < p< p(p),   ( 20 ) звідки випливає, що область А с pO'p (див. рис. 18 b) також є областю першого типу. Тому згідно з формулою (5)

В p(p)

jj f (x, y )dxdy = j dp j f (p cosp, psinp)pdp

( 21 )

Нехай область D містить полюс O, і кожний промінь p = const перетинає границю області в єдиній точці (рис. 19 а). Якщо (19) - її полярне рівняння, то

0'.   ?     X'f 0< p<2n,   Vps(0,2л): 0< p< p(p) ( 22 )

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1