2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 88

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Рис. 19 (рис. 19 b), и отже

2л p(p)

jj f (x, y ~)dxdy = j dp j f (pcosp, psinp)pdp.

( 23 )

Приклад 7. Знайти масу пластинки D, яка місти-ться між двоми кривими

I. :x2-4x + y2=0,   l2 :x2-8x + y2 = 0 для y >0 (рис. 20), якщо в кожній точці P(x; y D її поверхнева густина y(P )= y(x, y) пропорційна по-Рис. 20 лярному радіусу OP цієї точки і дорівнює 8 в точці

N(4; 0).

Поверхнева густина пластинки D дорівнює

y(P) = y(x,y) = к OP = k-yjx2+ y2; y(N) = y(4; 0) = W42 +02 = 4k = 8-^> к = 2,

y(P) = y(x,y )= 24 x2+ y2,

і на підставі механічного сенсу подвійного інтеґрала (див. (3)) ми повинні обчи­слити подвійний інтеґрал

m = jjy(P )dS = jjy(x,y )dxdy = 2jj^ x2 + y2 dxdy.

Доповнюючи до повних квадратів, ми бачимо, що криві lx ,l2 - кола радіу-сів 2 и 4 з центрами M(2; 0), N(4; 0) відповідно:

x2-4x + 4 + y2 =4, (x-2)2 + y2 =22 ,x2-8x + 16 + y2 = 16, (x-4)2 + y2 =42. Здійснюючи перехід (12) до полярних координат, отримуємо полярні рівняння ліній l1 ,l2,

l1 : x2 + y2 = 4x, p2 = 4pcosp, p = 4cosp;l2 : x2 + y2 = 8x, p = 8cosp, і визначаємо область D двома подвійними нерівностями

0 < p< Г, Vp є ^0, nj : (4cosp < p < 8cosp).

Отже, за формулою (17)

л л л л

2        8cosp _ 2        8cosp 2 2 \Scosp      2 2

= 2jdp j^pppdp = 2jdp jp2dp = —jdppp3\      =—i(8-43—)jcos3 pdp =

m

0       4 cos p

0       4 cos p

896

3

sin2 p)cos pdp

sin p = t, cos pdp = d

p

0

л 2

t

0

1

4cosp

896

3

12)dt = 1192

Рис. 21

Приклад 8. Знайти площу фігури, обмеже­ної лінією (лемніскатою Бернуллі, рис. 21)

(x 2+ y 2)2=4a 2(x2- y2). Ми раніше вивчали цю лінію. Її полярне рів-

няння

p = 2^cos 2p . Згідно з формулою (2) можемо написати

S = 4jj dxdy,

D

де область D - заштрихований криволінійний сектор на рис. 21. Очевидно, 0 < p< л, Vpє^0,     : (0 < p< 2a4 cos2p).

Отже, відповідно до формули (21) переходу до полярних координат (у випадку області D - криволінійного сектора) шукана площа дорівнює

ж

S = 4J dp   J pdp = 4j dp

0 0 0 >

f

V

2

0

= 8a

.2

2 4 2

cos 2pdp = 4a sin 2d =4a

В загальному випадку заміна змінних

x = x(u, v), y = y(u, v), в результаті якої область D площини xOy перетворюється в область А площи-нии uO'v, справедливою є наступна формула

jj f (x, У )dxdy = JJ f (x(u, v ), y (u, v)) J (u, v) dudv,.

D

де

J (u, v ) =

функціональний визначник, який звичайно називається якобіаном

1 На ім"я Якобі Карла Густава Якоба (1804 - 1851), відомого німецького математика.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

5. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО І ДРУГОГО ПОРЯДКІВ

5.1. ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ

Означення 1. Рівняння відносно шуканої функції y(x) називається дифе­ренціальним, якщо воно містить похідну або похідні цієї функції.

Означення 2. Порядком диференціального рівняння називається найви­щий порядок похідних шуканої функції, які входять в рівняння.

Загальна форма диференціального рівняння першого порядку відносно шуканої функції y(x) має вигляд

F(x, y, y') = 0, ( 1 )

а другого порядку - вигляд

F (x, y, у', y") = 0. ( 2 )

Означення 3. Розв"язком диференціального рівняння називається функ­ція y = p(x), яка задовольняє його, тобто перетворює його на тотожність.

Так, функція y = p(x) є розв"язком диференціального рівняння першого порядку (1), якщо F (x, p(x), p'(x)) = 0.

Означення 4. Інтегральною кривою диференціального рівняння назива­ється графік його розв"язку.

Кожне диференціальне рівняння має нескінченну множину розв"язків, а отже - і інтеґральних кривих.

Приклад^. Множина всіх розв"язків диференціального рівняння

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1