2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 89

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

y =x

дається виразом

y = x 2/2 + C,

де C - довільна стала.

Щоб вибрати якийсь певний розв"язок диференціального рівняння, зада-

Диференціальні рівняння першого і другого порядків 313 ють додаткові умови.

Розрізнюють граничні, або крайові, і початкові умови. Приклад_2. В деяких розділах так званої математичної фізики розгляда­ється така задача: знайти розв"язки диференціального рівняння

y" + k2 y = 0   (0 < x < l), які задовольняють граничні (крайові) умови

y(0) = 0, y(l) = 0.

Відомо, що так поставлена задача має нескінченну множину розв"язків (власних функцій)

. nnx

у = yn = ShI— ,

кожне з яких відповідає цілком визначеному значенню k (власному значенню)

k = kn = .

n l

Ми будемо, як правило, розглядати тільки початкові умови. Для диференціального рівняння першого порядку (1) ми задаємо одну по­чаткову умову, а саме:

y(x0 )= y0. ( 3 )

Для диференціального рівняння другого порядку (2) задаються дві почат­кові умови

y(x0) = yo, y(x0) = y0. ( 4 )

Означення 5. Задача відшукання розв"язку диференціального рівняння, який задовольняє початкову умову або початкові умови, називається задачею Коші.

Для диференціального рівняння першого порядку (1) ми маємо задачу Коші (1), (3), а для рівняння другого порядку (2) - задачу Коші (2), (4).

Геометричний сенс задачі Коші (1), (3): знайти інтегральну криву, яка проходить через точку M 0 (x0, y0).

Геометричний сенс задачі Коші (2), (4): знайти інтегральну криву, яка проходить через точку M 0 (x0, y0) і має в ній заданий кутовий коефіцієнт дотич­ної.

Приклад_3. Знайти криву, яка проходить через точку M0 (-1; 2), якщо ку­товий коефіцієнт дотичної в довільній її точці M (x; y) дорівнює 2 x.

Ми повинні розв"язати задачу Коші для диференціального рівняння пер­шого порядку

y " = 2 x

з початковою умовою

y(-1) = 2.

Рівняння дає

y = x2 + C,

а з початкової умови ми знаходимо значення сталої C,

y(-1) = (-1)2 + C = 2, C = 2 -1 = 1, і, отже, рівнянням шуканої лінії є

y = x2 +1.

Теорія диференціальних рівнянь встановлює умови однозначної розв"яз-ності задачі Коші.

Розглянемо спочатку диференціальне рівняння першого порядку, розв"я-зане відносно похідної y шуканої функції, тобто

y' = f(x, y) ( 5 )

Теорема 1. Якщо функція f (x, y) та її частинна похідна fy'(x, y) по y не­перервні в деякій області D площини xOy, то для будь-якої точки

M 0 (xo, y0 Ь D

задача Коші (5), (3) має розв"язок, причому єдиний. Він визначений на певному інтервалі (a, b) осі Ox, який містить точку x0.

Означення 6. Загальним розв"язком диференціального рівняння пер-

Диференціальні рівняння першого і другого порядків 315 шого порядку (5) в області D, про яку йдеться в теоремі 1, називається функція y = q)(x, C), яка містить довільну сталу C і задовольняє дві умови: а) вона є роз­взком рівняння для будь-якого значення C; б) для довільної початкової умови (3), такої, що точка M0 (x0, y0) лежить в області D, можна знайти таке значення C0 сталої C, щоб функція cp(x, C0) задовольняла цю початкову умову.

Приклад. Нехай функція y = y1 (x) є розв"язком диференціального рів­няння першого порядку

y " + P(x) y = 0. Тоді загальним розв"язком рівняння буде функція

y = (P(x ) = Cy1(x),

де C - довільна стала.

Дійсно, вона, очевидно, є розв"язком даного диференціального рівняння при довільному значенні C . Якщо, далі, задати довільну початкову умову (3) таку, що y1 (x0) Ф 0, то

(P(x0 )= Cy1 (x0 )= yo, C = y jy 1 (x0 ),

і функція

(p(x       y1(x)

задовольняє початкову умову.

Означення 7. Якщо стала C в загальному розв"язку y = cp(x, C) диферен­ціального рівняння (5) набуває якогось частинного значення C0, то відповідна функція cp(x, C0) називається частинним розв"язком цього рівняння.

Частинним розв"язком є, наприклад, розв"язок задачі Коші. Розглянемо тепер диференціальне рівняння другого порядку, розв"язане відносно другої похідної y шуканої функції,

y " = f (x, y, y "). ( 6 )

Теорема 2. Якщо функція f (x, y, y") та її частинні похідні по y, y", тобто fy'(x, y, y'), fy"(x, y, y'), неперервні в деякій області D тривимірного простору

Oxyz, то для будь-якої точки M0 (x0, y0, y0 D задача Коші (6), (4) має розв"я-

зок, причому єдиний. Він визначений на деякому інтервалі (a, b) осі Ox, який

містить точку x0 .

Означення 8. Загальним розв"язком диференціального рівняння друго­го порядку (6) в області D теореми 2, називається функція y = (p(x, C1, C2), яка містить дві довільні сталі C1, C2 і задовольняє дві умови: а) вона є розв"язком рівняння для будь-яких значень C1, C2; b) для довільних початкових умов (4) (за умови, що M0 (x0, y0, y0 D) можна знайти значення C01, C02 сталих C1, C2 так, щоб задовольнити ці умови.

Для будь-яких частинних значень C01, C02 констант C1, C2 ми маємо час­тинний розв"язок y = cp(x, C01, C02) рівняння (6), зокрема розв"язок задачі Коші

(6), (4).

Зауваження 1. Загальний або частинний розв"язки диференціального рів­няння можуть бути заданими неявно. В такому випадку їх часто називають, від­повідно, загальним або частинним інтегралами рівняння.

Зауваження 2. Аналогічні означення і теореми розглядаються і для дифе­ренціальних рівнянь n-го порядку (якщо n > 2).

Якщо ми шукаємо загальний розв"язок або розв"язок задачі Коші для да­ного диференціального рівняння, ми говоримо про його розв"язання або, часті­ше, його інтегрування.

5.2. ІНТЕҐРОВНІ ТИПИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ПЕРШО­ГО ПОРЯДКУ

Існують диференціальні рівняння першого порядку, інтегрування (розв"я-зання) яких зводиться до обчислення невизначених інтегралів, або, як часто ка­жуть, до квадратур. До таких рівнянь відносяться зокрема рівняння з відокрем­леними або відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, рівняння Бернуллі, до розгляду яких ми приступаємо.

Диференціальні рівняння першого і другого порядків 317 5.2.1. Рівняння з відокремленими змінними

Означення 9. Диференціальне першого порядку вигляду

M (x )dx + N (y )dy = 0, ( 7 )

де змінні x, y відокремлені (знаходяться в різних місцях), називається рівнянням з відокремленими змінними.

Теорема 3. Загальний розв"язок (згідно з зауваженням 1 - загальний інте­грал ) диференціального рівняння (7) має вигляд

j M (x)dx + j N (y )dy = C, ( 8 )

де під виразами

jM (x)dx, j N(y)dy

розуміють деякі первісні (а не невизначені інтеграли!) функцій M(x), N(y) від­повідно.

■Частина 1.

a) Нехай функція y = p(x) є розв"язком рівняння (7), тобто тотожно має­мо

M (x )dx + N (p(x ))d(p(x) ее 0,  M (x )dx + N (p(x ))p " (x )dx = 0. Інтегруючи тотожність по x, ми отримаємо рівність (8), а саме:

[ M (x)dx + [ N(p(x))p "(x)dx е C, Нехаш ((x) = y,, j m (x)dx + [ N(y)dy е C. J J p" (x )dx = dy    J J

b) Навпаки, нехай функція y = p(x) задовольняє рівність (8), тобто тото-

жно

jM (x)dx + j N(p(x))p(x)dx е C. Диференціюючи тотожність, маємо

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1