2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 9

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

нескінченно великої xn і функції, яка при x — ±да має скінченну ненульову гра­ницю an Ф 0. Тому цей добуток є нв при x — ±да. Далі маємо

Pn (x)= lim      I xn   xn—1   xn2 x      n J a

= lim      vx     x--x--J       = 1 =>P(x)~axn.

x±да anx     x±да anx a

Приклад. Обчислити границю

lim

Оскільки тут

4 x8 3x5 + 2 x 4

x—±да 5x7 + 2x4 3x2 + 4'

4x8 3x5 + 2x 4 ~ 4x8, 5x7 + 2x4 3x2 + 4 ~ 5x7,маємо

lim 4 x8 3x5 + 2 x 4 5x7 + 2 x4 3x2 + 4 да да

4x 4 lim —- = — lim x

x—±да 5x     5 x—±co

да при x +да, - да при x —да.

1.1.4.Стандартні границі

А. Перша стандартна границя

Першою стандартною називається така границя

limSinx = f 0 | = 1

x—0   x     [ 0,

( 1 )

Рис. 14

Звідси 1

■Використовуючи тригонометричний круг, ми зу­пинимось на випадку 0 < x < nj2 (рис. 14). Знаходячи пло­щі SMOC, SMOB, SOAmC трикутників AOC, AOB та кругового

сектора OAmC, ми бачимо, що S      < S      < S

AAOC      ° OAmC ^    AAOB

OA OC sin x <-< — OA AB, - • 1 1 sin x <-< 1 tan x,

2 2       2 2 2 2

x1

sin x < x < tan x, 1 < —— <

sin x   cos x

або

sin x cos x <-< 1.

Ця подвійна нерівність залишається вірною і при  nj2 < x < 0.

Оскільки

limcos x = 1, ми от-

x—0

Рис. 15

функцію (теореми про двох міліціонерів).^

римуємо результат (1) на підставі тео­реми про проміжну

Графік функції

зображено на рис.15 Наслідки.

, ,.   arcsin x 1. lim-=

f (x) = sin x

«1 = 1; lim

0 J x—0 tan x 0Л . .. arctanx | = 1; lim-

0 J x—0

x—0     x       [0J      x0   x     [0J      x—0 x Доведімо третю з цих границь. Решту доведіть самостійно. larctan x = y,

°)=1.

і lim

x—0

arctan x

y — 0, x = tan y

lim

y

lim y c0s y = lim-

y

y—0 tan y   y—0 sin y    y—0 sin y y—0

lim cos y = 1-1 = !

2. При x 0 функції sin x, arcsin x, tan x, arctan x є нескінченно малими (нм), еквівалентними своєму аргументу x:

sin x ~ x, arcsin x ~ x, tan x ~ x, arctan x ~ x (якщо x 0) . Приклад. За властивістю 3 "арифметичних" властивостей границь

lim

sin 4 x tan7 x

x—0 arcsin 3x arctan8x

Приклад. Знайти границю.

sin 4x ~4 x      tan7x ~7x arcsin 3x ~ 3x  arctan8x ~ 8x

4 x • 7 x 7

: lim

x—03x 8x 6

1 — sin 313x

A = lim-з-

x— 1 — sin 9 x

Оскільки (на підставі формул зведення)

. 13n     . С,     iz\    . n   1    . 9n

sin-= sin 6n+ | = sin— = 1, sin— = sin|

2 J       2 2

f 4n + I = sin= 1,

2 J 2

2 V 2 J 2 2 [

ми маємо розкрити тут невизначеність типу 0/0. За "арифметичними" влас­тивостями границь (з використанням формули про різницю кубів двох чисел, яка дорівнює добутку їх різниці і неповного квадрата їх суми)

,.   1 sin313x   С 0 ^   ,.   (1 sin13x)(1 + sin13x + sin213x)

A = lim--= I - | = hm^-:-<X---——U =

x— 1 sin3 9x    V 0 J   x—— (1 sin9x)(1 + sin9x + sin2 9x)

lim(1 + sin13x + sin213x)

lim

,.   1 sin13x x—— ,.   1 sin13x

= lim-;----;-—-V- = lim-;-,

x—— 1 sin 9x    lim(1 + sin 9x + sin 9x)    x—— 1 sin 9x

2 n v ' 2

x—

2

оскільки

lim (1 + sin 13x + sin213x) = 1 + 1 + 1 = 3, lim (1 + sin 9x + sin2 9x) = 1 + 1 + 1 = 3.

x —— x

2 2

Тепер введімо заміну змінної n x = y, y — 0, звідки

sin 13x = sin 13^n y J = sinf^L — 13y J = sin^bn + n — 13y j = sinfn — 13y j = cos 13y sin 9 x = sin 9^nn y j = sin|С■9— — 9 y j = sin[4n + n — 9 y J = sin^^ -n — 9 y j = cos 9 y.

Таким чином,

2 13 y

, 2sin .   ,.   1 cos13y 2 A = lim-- = lim ^

-—11111-

y—0 1 — cos9y    y—0    • 2 9y ' 2sin

2

2 13y   С13y

sin

2     V 2

sin

2 9y   С 9y

13y j2

r4 2 J С13j2 169 lim-

y—0 С 9y       V 9 J 81 2

2    V 2

Тут для фіксації еквівалентності ми використали позначення =, бо в ре­дакторі формул на ПК символ "~" відсутній.

Б. Друга стандартна границя

Розглянемо наступну числову послідовність:

Наближені значення (до 0.001) деяких членів послідовності дає таблиця 4

Table 4.

n 10 50 100        150        1000      2000      3000 10000

y 2.594     2.692     2.705     2.709     2.717     2.717     2.717 2.718

Ми доходимо таких висновків (їх можна також довести строго): a) послі­довність зростає; b) вона обмежена зверху (наприклад, числом 3). Тому (за вла­стивістю 6 загальних властивостей границь) вона має границю, яку позначають літерою e (число Ейлера; його наближене значення ми будемо в змозі знайти пі­зніше, а зараз візьмемо до уваги, що e = 2.718281828459045...). Таким чином, ми можемо написати

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1