2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 90

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

d (j M (x)dx)+ d (j N (p(x ))p(x )dx )= 0, M (x )dx + N (p(x ))p(x)dx = 0, звідки бачимо, що функція y = p(x) є розв"язком рівняння (7).

Таким чином, кожний розв"язок рівняння (7) задовольняє рівність (8) і навпаки, кожна функція, яка задовольняє рівність (8), є розв"язком рівняння (7).

Частина 2. Щоб довести можливість вибору значення C так, щоб задово­льнити початкову умову

У(*0 ) = ( 9 )

запишемо первісні в формулі (8) у вигляді визначених інтеґралів з змінними межами інтеґрування,

x у

j M (x)dx + j N )dy = C.

a b

На підставі початкової умови (9) дістаємо

x0 у0

C = j M (x )dx + j N (y )dy. ■

a b

Зауваження 3. Взявши a = x0, b = y0, отримаємо C = 0. Таким чином, роз­взок задачі Коші для рівняння (7) з початковою умовою (9) можна записати в найпростішому вигляді

x у

j M (x)dx +j N )dy = 0. (10)

Зауваження 4. Інтеґрування диференціального рівняння (7) зводиться до більш простої задачі, а саме - до відшукання первісних (до квадратур). І не ва­жливо, якщо принаймні одна з первісних не може бути вираженою через еле­ментарні функції.

Приклад_4. Диференціальне рівняння

e dx = ^—

In у

є рівнянням з відокремленими змінними. Його загальний розв'язок дається фо­рмулою

j ex2 dx =j ^ + C J J In у

Обидві первіснjex2 dx, j

In у

як відомо, не виражаються через елементарні функції, але задача інтеґрування диференціального рівняння вважається розв"язаною.

5.2.2. Рівняння з відокремлюваними змінними

Означення 10. Диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними (або рівнянням з змінними, які ві­докремлюються), якщо його можна звести до рівняння з відокремленими змін­ними.

Таким є, наприклад, диференціальне рівняння

у' = fi (x)f2 (у) ( 11 )

за умови f2 )ф 0.

Достатньо записати похідну у' у вигляді —, помножити обидві частини

dx

рівняння на dx і поділити на f2 (у),

^ = fi (x )f2 (у) dx f2(у)  f2(у) f{x)dx.

Таким чином, загальний розв"зок рівняння (11) дається формулою

До того ж типу рівнянь з відокремлюваними змінними належить таке рів­няння

P( x)Q(      + R( x) S (у^у = 0 ( 13 )

у випадку R(x) ф 0, Q(y) ф 0. Ми дістаємо рівняння з відокремленими змінними, поділивши обидві частини рівняння на R(x)Q( у) ,

P(x)Q(y)dx + R(x)S(y)dy = 0,    І-1-,   P(x)dx + S(y)dy = 0,

і загальним розв"язком вихідного рівняння є

1 ey 2 x

(1 + x2 Л + ey), 1 + ey d ~ 1 + x2 dx = ^

Приклад_5. Диференціальне рівняння

ey (1 + x2 )dy - 2 x(1 + ey )dx = 0

має вигляд (13), де

P(x) = 1 + x2, Q(y) = ey, R(x) = 2x, S(y) = 1 + ey, і є рівнянням з відокремлюваними змінними. Поділивши обидві його частини на добуток (1 + x2 )(1 + ey), маємо

ey (1 + x2 )dy - 2 x(1 + ey )dx = 0

звідки

h + ey h + x2      v    ;   v    ;      1 + x2

Зауваження 5. Задля більшої простоти ми можемо записувати довільну сталу C в різних формах.

Например, візьмемо в попередньому прикладі довільну сталу у вигляді ln IC (замість C). Тоді матимемо

ln1 + Є 2 = lnl C,|,    1 + Є 2 = |Cj. 1 + x2      1 11     1 + x2   1 1

Покладаючи остаточно C = |Cj, дістаємо загальний розв'язок рівняння в більш простому вигляді

1 + еу = C (1 + x2),

або

у = ln(c (1 + x2)-1).

Приклад_6. Компанія на теперішній час має 1680 одиниць деякої продук­ції, і ця кількість поповнюється з швидкістю 900 одиниць в місяць (од/міс). За­раз попит має швидкість 800 од/міс, але поступово зменшується з швидкістю 10 (од/міс). Компанія хоче скорочувати випуск продукції з швидкістю n од/міс з

Диференціальні рівняння першого і другого порядків 321 тим, щоб реалізувати її всю протягом року. Знайти значення n.

Нехай I (t) - кількість одиниць продукції, які є в наявності в компанії в момент часу t. Очевидно, I(0) = 1680. Швидкість зміни кількості продукції в момент t дорівнює

V {t )= lim1 (t + At) -1 (t) = I '(f).

V '    At-*) At

Відомо, що

V (t ) = S (t)-D(t),

де S (t) - швидкість виробництва, а D(t) - швидкість продажу. За умови задачі S(t) = 900 - nt, D(t) = 800 - 10t, V(t) = 100 + 10t - nt = 100 + (10 - n)t,

або

I' (t ) = 100 + (10 - n )t.

Ми дістаємо диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними відносно I (t) з початковою умовою

I(0)=1680,

так що треба розв"язати для рівняння задачу Коші. З рівняння маємо

I (t ) = 100t + (10 - n)- + C, з початкової умови знаходимо C = 1680, і

t2

I (t ) = 100t + (10 - n)-2 +1680.

Щоб продати всю продукцію протягом року ми повинні мати

I (12) = 100 -12 + (10 - n)-12- +1680 = 0,

звідки випливає, що n = 50.

Відповідь: компанії необхідно скоротити випуск продукції з швидкістю n = 50 од/міс.

Приклад 7_(задача з демографічним змістом). Швидкість зростання кіль­кості населення в довільний момент часу пропорційна кількості населення вцей момент (з кофіцієнтом пропорційності k). Знайти кількість населення в до­вільний момент t, якщо вона дорівнює L0 в початковий момент t = 0.

Нехай L(t) - кількість населення в момент часу t (очевидно, що L(t) > 0). Швидкість зростання кількості населення в цей момент

Згідно з умовою Отже,

v(t )=lim L(t + At   L(t) = LL t).

V/     At *0 At ^

v(t ) = kL(t).

L'(t ) = kL(t),   L(0)= L0, і ми повинні розв'язати задачу Коші.

Диференціальне рівняння задачі - з відокремлюваними змінними,

dL

dt

kL

dt dL

kt,

= e

і—, = kdt, lnlL = kt + lnlCI, lnlL - lnlC = kt, ln -

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1