2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 91

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

LL

\L(t) = \C\eh, L(t) = C\ekt,

L(0) = L0 = |C|e°, C = L0, L(t) = Leu. Таким чином, ми отримали експоненційне зростання кількості населення за умови відсутності якихось стримуючих факторів (зниження життєвого рівня,

заходів по зниженню народжуваності і т.ін.).

Приклад 8_(геометрична задача). Знайти криву, ^ftjtfj   яка проходить через точку M0 (1; 2), якщо відрізок її довільної дотичної між точкою дотику і віссю Oy ді­литься точкою перетину відрізка з віссю Ox в даному відношенні 5 : 8, рахуючи від осі Oy (див. рис. 1).

Рис. 1 З умови випливає , що шукана крива не може

перетинати координатні осі і тому повинна знаходитись в першому квадранті.

Нехай у = y(x) - шукане рівняння кривої, M (x; у) - довільна точка кривої, яка є точкою дотику, а = ZMBN. Тоді ON = x (x > 0),

NM = у > 0), tana = у' =

NM _ у

у'

у

(рис. 1).

BN   BN BN Згідно з умовою

AB: BM = 5:8 = OB : BN, OB = x - BN, (x - BN): BN = 5:8 => BN = 8/13 x,

' . > = 13 у

у' =

y

(8/13)-

y 8x { у(1) = 2.

Отримали задачу Коші для диференціального рівняння першого порядку з відо­кремлюваними змінними. Відокремлюючи змінні, отримуємо

dy   13 у dx dy   13 dx cdy   13 с dx   13,      , , ,   13/, , ,  , ,_,\

—=v> j —=v\—+TlnC,lny = T(lnx +lnC),,

V      V X    Y    J   V X J   Y        X X

dx 8x

у   у    8 x •> у 13

іПy| = — lnC||x|, ln у = ln|C|x, ln у = ln(C|x)8, у = \C\8 x8 . ° 8

8

За допомоги початкової умови знаходимо значення сталої і розв"зок зада­чі Коші,

13 13

8 CI"8 - о т> - 8

y(1) = 2, y(1) = C 8, C 8 = 2, у = 2x Існує інший спосіб виведення диференціального рівняння задачі, засно­ваний на використанні рівняння дотичної до кривої в її довільній точці M (x; у).

Дісно, нехай Е,, ц - координати довільної (поточної) точки дотичної. Тоді рівняння дотичної можна записату у вигляді

ц = y(x)+ у'(x XZ- x). Покладаючи в цьому рівнянні ц = 0, отримаємо

0 = y(x)+ у' (x ХЕ - x), у' (x ХЕ - x) = - y(x), Е- x = - y(x)/ у' (x),

Е = OB = x - -y^^ BN = ON - OB = x-y'(x)

y(x)")= y(x) y' (x)j y'(x)

Тепер на підставі умови задачі маємо

AB = OB = 5 BM ~ BN ~ 8 '(x))l { у'(x)

5 x - Ad =5 AA x=13 zM

8     у' (x)   8 у' (x У      8  у' (x У

звідки

a (x )=і3 - yM.

8 x

5.2.3. Однорідні диференціальні рівняння (відносно змінних)

Означення 11. Диференціальне рівняння першого порядку називається однорідним (відносно змінних x, у), якщо його можна подати у вигляді

У = <р(1), ( 15 )

де функція в правій частині залежить тільки від відношення змінних.

Теорема 4. Однорідне диференціальне рівняння (15) зводиться до рівнян­ня з відокремлюваними змінними введенням нової шуканої функції

У = u( x). ( 16 )

x

■Знаходячи у' та підставляючи його значення в рівняння, маємо у = xu (x), у' = u + xu', u + xu' = (p(u), xu' = cp(u)- u.

Отримане рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними за умови

p(u)- u Ф 0.

Дійсно, в цьому випадку

du

x = p(u)-u dx

dx , du = dx , x(p(u)- u)' p(u)- u x

r    du       rdx

j —r\ = j+C "

J p(u)- u   J x

Зауваження 6. Можна довести, що диференціальне рівняння вигляду

У' = f (x, У) ( 17 )

є однорідним, якщо для будь-якого Л виконується умова

f     ) = f (^ у). ■Дійсно, покладаючи Л = 1/ x, можемо подати праву частину рівняння (17) у вигляді функції від відношення y/x:

f (x, у) = f (Ax, Лу ) = f {1 - x,1 - у 1 = ff 1,У

1

x x

Більш загальне диференціальне рівняння

M (x, у )dx + N (x, у )dy = 0 ( 18 )

є однорідним, якщо для будь-якого Л існує число k таке, що одночасно M (Ax, Лу) = AaM (x, у) і N (Ax, Лу) = AaN (x, у). Доведіть це твердження самостійно. Приклад_9. Розв'язати задачу Коші

xy' = у ln У, у(1) = 1. x

Поділимо обидві частини рівняння на x. Отримаємо диференціальне рів­няння вигляду (15),

У' = У- ln У-,

xx

в якому права частина

У ln У = —У

x   x     у xy

є функцією від відношення y/x. Отже, задане рівняння є однорідним. Діючи згі­дно з теорією, маємо

У = u, у = xu, у у = xu' + u, xu' + u = u ln u, xu' = u ln u - u, xdu = u(ln u -1) x dx

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1