2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 92

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

dx

xu(lnu -1 )

,        4- A—r——ч = j + lnl C, lnlln u -1 = lnl Cxi, Iln u -1 = Cx. u(ln u -1)    x  J u(ln u -1)   J x

du

dx

dx

x     u lnu -1 x

Дякуючи довільності сталої C, ми можемо відкинути тут знаки абсолютної ве­личини, звідки

Початкова умова дає

ln u -1 = Cx, ln У -1 = Cx. x

ln1 -1 = C-1, C = -1.

1

Отформатировано: русский (Россия)

Отформатировано: русский (Россия)

Шуканий розв'язок задачі Коші

або

ln^- = 1 - x, x

у        1-x 1-x

= е   ,   у = xe .

x

Приклад 10. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння

(3 у2 + 3xy + x2 ^)dx = (x2 + 2 xy A)dy. Рівняння є однорідним, оскільки для довільного л маємо 3у)2 + 3x)(лу)+(^)2 = лл (3у2 + 3xy + x2), )2 + 2)(лу) = л2 (x2 + 2xy). Однорідність рівняння можна встановити без залучення л . Перепишемо для цього його у вигляді

dy   3 у2 + 3xy + x2

у'

dx

x + 2 xy

та поділимо чисельник і знаменник дробу праворуч на x2,

У =

3\y) + 3 -y +1

1 + 2 -

В отриманому рівнянні права частина є функцією від відношення yx, що дово­дить однорідність даного рівняння. На підставі теорії, застосованої до перетво­реного рівняння, дістаємо

= u, у = xu, у' = xu' + u, xu' + u =

3u2 + 3u +1    du = u2 + 2u +1  (1 + 2u )du = dx

r (1 + 2u )du = rdx + с Г J u 2 + 2u + 1    J  x       ' J

1 + 2u        dx      1 + 2u     u 2 + 2u + 1 x (1 + 2u)du = l і і   C r2(1 + u)-1 ,    _ г du     г du

(u +1)2

1

= 2ln| u +1 +-,2ln

u+1

+1

+

1

(u +1)2

du

= 2jdu--j

u+1

(u +1 )2

= ln x + C ,2ln

+1

x + у

+

x+ у

= lnl x + C.

2

x

x

x

у

Диференціальні рівняння першого і другого порядків 327 Приклад 11. Знайти криву, яка проходить через точку M0 (0; 1), якщо під-

дотична в довільній її точці M (x; у) дорівнює сумі координат цієї точки.

З умови випливає, що шукана крива не може перетинати вісь Ox і тому знаходиться вище неї.

Нехай у = y(x), y(x) > 0, - рів­няння шуканої кривої, MA і MB - від­повідно відрізки дотичної і нормалі до кривої в довільній її точці M (x; у), і MN1 Ox (див. рис. 2 для випадку у'(x)> 0). Напрямлені відрізки AN і NB називаються відповідно піддо-Рис. 2 тичною та піднормаллю до кривої в

точці M(x; у).

З прямокутного трикутника AMN (у випадку у'(x)> 0 точка A лежить лі­воруч від точки N, рис. 2, у випадку у'(x) < 0 - праворуч) маємо

NA = -NM - cota = -

NM tana у(x) . У' (x);

те ж саме значення для NA можна отримати, виходячи з рівняння дотичної до шуканої кривої в точці M (x; у). Дійсно, рівняння дотичної має вигляд

ц = y(x)+ у'(x)(Е- x). Покладаючи тут ц = 0, матимемо

Е = OA = x - М, AN = ON - OA =       , NA = -Ax\.

Довжина піддотичної дорівнює

y (x)

У (x )

і на підставі умови ми дістаємо диференціальне рівняння

y (x)

У' (x)

= x + у,   ± A = x + у

у

з початковою умовою

У(0) = 1.

Таким чином, ми повинні розв'язати задачу Коші. 1. Перший випадок

A = x + у,   у(0) = 1.

у

Для визначення типу рівняння запишемо його у вигляді

У = у

x + у

і поділимо чисельник і знаменник дробу на x,

у

у ==

1 + х-x

Ми бачимо, що отримане рівняння має вигляд (15), а отже дане рівняння є од­норідним. Використовуючи теорію, матимемо

у ,      , , u       ,     u du       u2

= u, у = xu, у = xu + u, xu + u =-, xu =--u, x =--

x 1 + u 1 + u        dx     1 + u

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1