2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 93

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

(1 + u )dx

u u

(1 + u)du      dx    (1 + u)du       dx 1 1

--j-=--, j--^ = -j + C,--+ ln u = - ln x + C,--+ ln xu\ = C,

u2 x u2 x u u

- x + lnlyl = C, - x + ln у = C   (бо у > 0).

уу

Початкова умова дає

-0 + ln1 = C, C = 0.

1

Шукана крива має наступне рівняння:

x

- + ln у = 0,   у ln у = x.

у

2. Другий випадок

- у = x + у,   y(6) = 1. У

Інтеґрування рівняння (яке також є однорідним) дає

У      1       t        У      t       Ух    y ,       , , u

--=-, y =--, у =--——, = u, у = xu, у = xu + u, xu + u =--.

у    x + у x + у 1 + yx x 1 + u

du        u du      2u + u2  (1 + u )du      dx (1 + u )du dx

x u, x , 2 ,   7      \~ ,

dx      1 + u        dx        1 + u     2u + u x   u(2 + u) x

[ +1\du = -—, — (lnl u + lnlu + 2І) = - lnl x + ln|C I, ln|u(u + 2) + lnl x| = lnC L 21 u   u + 2 J x   2 2

f

ln

у  + 2

x v x

= ln IC |, ln \x\ —J\у( у + 2x)  = ln| C\,     у|у + 2 x = ln| C\,

/ і , 2 і |Ci і , 2 і C2) у(у + 2x) = C для у + 2x ^ o, v 111        1 у(у + 2x) = c2 для у + 2x < 0.

Початкова умова може виконуватись тільки у випадку у + 2x > 0:

+ 2• 0) = C2, C2 = 1, і отже шукана крива дається рівнянням

у(у + 2x) = 1. Відповідь. Поставлена задача має два розв'язки:

у ln у = x, у(у + 2x) = 1.

5.2.4. Лінійні рівняння

Означення 12. Лінійним диференціальним рівнянням першого поряд­ку називається рівняння вигляду

у' + P( x) у = Q( x), ( 19 )

де коефіцієнт P(x) і вільний член Q(x) - відомі функції.

Теорема 5. Інтеґрування лінійного диференціального рівняння (19) зво­диться до послідовного інтеґрування двох диференціальних рівнянь першого порядку з відокремлюваними змінними.

■Шукатимемо ненульовий розв'язок рівняння (19) у вигляді добутку двохінших невідомих функцій u(x), v(x),

У = u (x)v( x). ( 20 )

Диференціюючи і підставляючи значення y, у' в рівняння, маємо

У = u'v + uv', u'v + uV + P(x)uv = Q(x), u'v + u(v' + P(x)v) = Q(x). Наявність двох невідомих функцій дає можливість накласти на одну з них певну додаткову умову. Саме, знайдімо яку-нибудь функцію v = v0 (x), котра анулює вираз v' + P(x)v в дужках. Для її відшукання і завершення інтеґрування рівняння ми повинні розглянути два допоміжні диференціальні рівняння, а саме

v + P( x)v = 0, (*) u 'v = Q( x). (**)

Очевидно, обидва вони є рівняннями з відокремлюваними змінними, причому нам достатньо знайти тільки якийсь частинний розв'язок першого. Інтеґрування рівняння (*) дає

Idx dv   , ч ,     , і,     г     ^ ,    , і і , I v

+ P( x )v = 0 dx

—, — + P(x)dx = 0, lnlv = ~ f P(x)dx + lnlCj L ln = -f P(x)dx, v   v J Cj J

v = Cje-P (x )dx.

Оскільки нам потрібен якийсь один частинний розв'язок рівняння (*), ми мо­жемо надати довільній сталій Cj будь-якого ненульового значення, наприклад Cj = 1, і отримати потрібну нам функцію

v = v0 (x ) = e-f P (x) dx.

Підставляючи знайдене значення v = v0( x) в рівняння (**), знаходимо його за­гальний розв'язок,

u'v0 (x) = Q(xX dr v0 (x) = Q(x) dx

^, du = (x-r dx, u = f (x-r dx + C.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1