2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 94

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

v0(x)     v0(x) v0(x)

Остаточно ми дістаємо загальний розв'язок рівяння (19), а саме

у = uv = uv0 (x) = \ f Q(x) dx + C v0 (x).

00

v0(x)

Приклад 12. Проінтеґрувати диференціальне рівняння

Диференціальні рівняння першого і другого порядків 331 у + у tan x =

cos x

Дане рівняня є лінійним, в якому

P(x) = tan x, Q(x) = *.

cos x

Згідно з теорією покладаємо

у = uv = u(x)v(x),

а тому

у' = u 'v + uv', u'v + uv' + uv tan x = 1, u 'v + u (v' + v tan x ) = 1—.

cos x cos x

Ми повинні послідовно проінтеґрувати два рівняння

v' + v tan x = 0, (*)

u 'v = —*—. (**) cos x

dv

--+ v tan x = 0

dx

sin xdx  с dv      r sin xdx   , і _ і

=--, ) — = -)-+ lnC\,

cosx   J v     J cosx

fdv = f sin xax + c1 i, v = lnjcos x\ + lnlC11, lnlv\ = lnlC1 cos x|, \v\ = C1 cos x|; J v    J   cosx

Що стосується рівняння (*), маємо

dx dv =   sin xdx r dv =   r sin xdx v   v       cos x      v cos x

dv    r - sin xdx v

з огляду на довільність C1 ми можемо відкинути знаки абсолютної величини і написати

v = C1 cos x,

а потім взяти якусь одну з знайденої множини функцій, наприклад

v = v0 (x) = cos x. Переходячи до рівняння (**), отримуємо

,        1      , 1    du 1

u v0 =-, u cos x =-,--cosx =

0   cosx cosx dx cos x

dx dx

-, du =-2, u = tan x + C .

cos x       cos x

Тепер знаходимо загальний розв'язок даного диференціального рівняння

у = uv0 = (tan x + C) cos x = sin x + C cos x, у = sin x + C cos x. Приклад 13. Проінтеґрувати диференціальне рівняння

Перепишемо рівняння наступним чином:

dy       у        dx   3x - у2     dx   3x dx   ,  3.

dx = 3-^L-f, -г- =-—> -г- =--y, -г- + (--)x--y

dx   3 x - у      dy       у        dy    у dy у

Ми бачимо, що отримане диференціальне рівняння є лінійним відносно шука­ної функції x x{y) • Це дозволяє нам діяти таким чином:

f     3 >

x uv u(y)v(y), x' u'v + Vu, u'v + uv'--uv -y, u'v + u\ v--v

у I    y j

v - 3v 0, (*) y

u 'v - y. (**) Розв'язуючи перше рівняння (*), маємо

- y,

dy y

dy, dv3 ф, v 3ln,y + ln,с, in|v lnlCy3|, v \Cy3\, v Cy3. v   v y

Взявши v v0 y3, інтеґруємо рівняння (**), тобто

, ,3 du       1 dy rdy 1

u vo -y, uy —-y, —---        du —--r, u -I + C, u + C.

dy      y y J y y

Загальним розв'язком заданого рівняння є

f 1 ^

- + C

y

y3, x y2 + Cy'

Приклад 14 (потік фондів). Нехай K(t) - кількість фондів в момент часу t. Знецінення фондів протягом інтервалу часу [t, t + At] дорівнює juK(t)At, де ju -деякий коефіцієнт знецінення. Зростання кількості фондів за той же інтервал часу дорівнює pIAt, де I - відома річна кількість інвестицій, а р- деякий коефі­цієнт (0< р<1 внаслідок того, що не всі інвестиції вкладаються в фонди). Вели­чина фондів в момент часу t + At дорівнює

K (t + At) K (t) - uK (t )At + pIAt. Швидкість руху фондів в момент часу t дорівнює

x = uv0 =

Ми дістали задачу Коші для рівняння

K ' (t ) = -pK (t) + pI

з початковою умовою

K (0) = K 0.

Коефіцієнти ju, p рівняння і величина I можуть бути як сталими, так і ві­домими функціями від t. В цьому випадку отримане диференціальне рівняння є лінійним. Більш того, величина I може бути рівною добутку функції від t і и-го степеня шукакої функції K(t). В такому разі ми зустрічаємось з рівнянням ще одного типу, а саме з так званим рівнянням Бернуллі1.

5.2.5. Рівняння Бернуллі

Означення 13. Диференціальним рівнянням Бернуллі називається ди­ференціальне рівняння першого порядку вигляду

де n - довільне дійсне число, відмінне від 0 і 1. При n = 1 рівняння перетворю­ється в рівняння з відокремлюваними змінними, а при n = 0 - в лінійне.

Ми можемо інтеґрувати рівняння Бернуллі таким же чином, як і лінійне, покладаючи

Іншим способом інтеґрування рівняння Бернуллі є його зведення до ліній­ного рівняння. Для цього поділимо обидві його частини на у",

у'+ P(x = Q(x) у"

( 21 )

у = u(x)v{x).

Q(x), у У " + P(x )у1-" = Q(x),

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1