2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 95

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

n ,,"-1

уу

а потім покладімо

1

1-n

n-1 у

= z.

у

1 На ім"я Якоба Бернуллі (1654 - 1705), відомого швейцарського математика.

Матимемо

z' = (1 - n )у- ', у n = ---+ P(x )z = Q (x),

1 - n 1 - n

z' + (1 - n )P(x )z = (1 - n Q (x).

Останнє рівняння є лінійним відносно нової шуканої функції z (x).

Приклад 15. Проінтеґрувати диференціальне рівняння

у у = W. x

Маємо справу з рівнянням Бернуллі, в якому

P(x) = -- Q(x) = x

і n = 1/2.

Перший спосіб. Знаходячи розв"язок рівняння у вигляді добутку

у = uv = u (x)v(x),

маємо

4 і4   і /—

у' = u'v + uV, uV + uv' uv = x^juv, u'v + u V v \ = x^juv,

x \ x

4

4

v v = 0, (*) x

u v = xVuv. (**)

dv 4

---v = 0

dx x

—,--4 — = 0, ln v = 4 ln x + ln C1, ln

v    v       x 1

і       4 si    4 4

= ln x , v = C1 x , v = v0 = x

du і      du 4      і 4

v0 = xJuv0, x = x^ux dx dx dx    du dx

x 4л/и ' 4u

2л/й = ln|x + ln\C\, 2yfu = ln|Cx|,

-Ju = -2ln|Cx\ = ln^JCx, u = ln2 д/jCx], у = uv0 = x4       |Cx|. Другий спосіб. Зведімо рівняння до лінійного, поділивши обидві його ча-

стини на

-5=----5= = x,   -;=--Vу = x,   д/у = z,   —j= = z ,   — = 2z ,   2z--z = x

Ту   x л/у"     '   л/у x

^л^ '

x

x

v,   2 x

z--z = .

x2

Далі використовуємо звичайну процедуру інтеґрування лінійного дифе­ренціального рівняння першого порядку.

z = u(x)v(x),   z'= u'v + uv',   u'v + uv'- — uv = x,   u'v + u\ v'- — v\ = x;

x \     x J

v' - 2 v = 0, (*) x

u'v = x. (**)

dv   2     n    dv   dx   n   , і і   „, і,   , і ^ і    ,ii, 2,i^i

(*) ^>---v = 0,--2— = 0,   ln v - 2ln x = ln Cj,   ln v = ln x + ln C1,

dx   x dv x

ln v| = ln x2 [Cj,   |v| = x2 [Cj,   v = C1 x2,   v = v0 (c) = x2; 2 1

(**) => u'x = x,   u' = ,   u = ln x + ln C,   u = ln Cx;

x

z = у = uv0 = x2 ln|Cx    у = z2 = x4 ln2 |Cx|.

5.3. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ, ЯКІ ПРИПУСКАЮТЬ ЗНИЖЕННЯ ПОРЯДКУ

5.3.1. Рівняння вигляду у" = f (x).

Нехай нам треба проінтеґрувати диференціальне рівняння другого поряд­ку, розв"язане відносно старшої похідної, якщо його права частина є функцією тільки незалежної змінної,

у" = f (x). ( 22 )

Загальний розв"язок такого рівняння знаходиться шляхом двократного інтеґру-вання по незалежній змінній, а саме:

у = jdxj f (x)dx + C1 x + C2x. ( 23 )

у " = (у' і = ddf = f (x), dy' = f (x)dx, у' = \ f (x )dx + C,

<dy = j f (x)dx + Cj,    = (j*f (x)dx + Cj)dx, y = j(jf (x)dx + Cj)dx + C2 =

= j dx j f (x)dx + j Cjdx + C2 = j dxj f (x)dx + Cjx + C2 .■

Зауваження 7. Якщо для рівняння (22) треба розв'язати задачу Коші з початковими умовами

y(xo )=y'(xo )=У, то краще провести інтеґрування по змінному відрізку [x0, x], тобто:

x x x

У = j f (x)dx + Cj, y = j dx j f (x )dx + Cj (x - x0) + C2. В такому разі ми зразу отримуємо

Q = У' (x0 )= y0, C2 = y(x0 )= y0,

і розв'язок задачі Коші набуває вигляду

у = j dx j f (x )dx + y0 (x - x0)+

x0 x0

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1