2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 96

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Приклад j6. Розв'язати задачу Коші

I y = cos x,

j y(0) = j, y' (0) = -2.

Двічі інтеґруючи, ми отримуємо спочатку загальний розв'язок рівняння,

yу = sin x + Cj, y = - cos x + Cj x + C2. Беручи далі до уваги початкові умови, знаходимо відповідні значення ста­лих Cj, C2,

y(0) = j = -cos0 + Cj 0 + C2, C2 = 2; y'(0) = -2 = sin0 + Cj, Cj =-2. Шуканий розв'язок задачі Коші має вигляд

y = - cos x - 2x + 2. Враховуючи зауваження 7, ми б могли знайти розв'язок задачі Коші на­ступним чином:

x       x x / \ x

y = j dx j cos xdx + (- 2)x + j = j (sin x 0 )dx - 2 x + j = j (sin x - sin 0)dx - 2 x + j =

0       0 0 sin xdx - 2x + j = - cos x

- 2x + j = -(cos x - j) - 2x + j = - cos x - 2x + 2.

5.3.2. Диференціальні рівняння другого порядку, які не містять явно шуканої функції.

Нехай диференціальне рівняння другого порядку не містить явно шука­ної функції, тобто має вигляд

F (x, y", y" ) = 0. ( 24 )

В такому випадку воно легко зводиться до рівняння першого порядку відносно нової шуканої функції

У = p(x). ( 25 )

Оскільки

У " = p " (x), рівняння (24) переходить в наступне:

F (x, p(x), p " (x)) = 0. ( 26 )

Уявімо, що нам вдалось знайти загальний розв'язок рівняння (26)

p(x) = ^ ci ).

В такому разі ми можемо завершити інтеґрування вихідного рівняння таким чином:

y' = <p(x, Cj),dy = <p(x, Cj), dy = <p(x, Cj )dx, y = j <p(x, Cj )dx + C2. dx

Приклад j7. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння

x2 y " + xy " = j. В рівняння не входить явно шукана функція. Перший крок. Покладаючи

y" = p(x),

ми отримуємо диференціальне рівняння першого порядку відносно нової шука­ної функції p(x),

у" = p', x2p' + xp = j, p' + - p = \.

xx

Отримане рівняння першого порядку є лінійним. Згідно відповідній теорії ми покладаємо p(x) = uv, і отже

,     ,       ,   ,       ,   uv    j    ,      ( ,   v ^ j

p = u v + uv ,u v + uv +--= -2",u v + ul v +1^—2,

x    x v     x J x

4,v   ^ dv   v   ^ dv   dx   ^,11,11   ,     і        ^ r \ j

a) v + = 0,--^ — = 0,--1--= 0, ln v + ln x = lnC0, vx = C0, v = v0(x) = —;

x      dx   x       v     x x

1     ,       1   du j     j dx      ]M   C    ( ) ln|x + cj

b) u v = —, u v0 = —,---= —, du = , u = lnx + Cj, p(x) = uv0 = ——-.

x x   cdx x   x x x

Другий крок. Повертаючись до y , ми знаходимо загальний розв'язок да­ного рівняння,

,   lnlx + Cj dy   lnlx + Cj   ,    lnxL    dx       \n2\x\ , ,

У      u-,    = -> dy = —LAdx + Cj —, y =       + Cjln| x + C2.

x      dx        x x x 2

5.3.3. Диференціальні рівняння другого порядку, які не містять явно незалежної змінної.

Диференціальне рівняння другого порядку, яке не містить явно незале­жної змінної, тобто

F (У, У ", У " ) = 0, ( 27 )

зводиться до рівняння першого порядку введенням нової шуканої функції

У = p(y). ( 28 )

Диференціюючи складену функцію,

У " = p( У) p " (У), ( 29 )

дістаємо рівняння першого порядку відносно p( y),

F (У, p( У), p( У) p " (У)) = 0 ( 30 )

з незалежною змінною у.

Якщо ми зможемо знайти загальний розв'язок рівняння (30),

p(y) = ф(y, cj ) ,

то інтеґрування вихідного рівняння завершується наступним чином

y" = ф(y, Cj), ^ = ф(y, Cj) dx

dx

dy

ф(у, Cj)' ф(у, Cj)      '•> ф(у, Cj)

dx, J-

dy

x + C2.

Приклад j8. Розв'язати задачу Коші для рівняння

y " = 2sin3 y cos y

з початковими умовами

у(і)=f, у " (j)=j.

Рівняння не містить явно незалежної змінної, і тому ми покладаємо

y" = p( y).

Перший крок.

3 dp 3 3

У у = p( У), У " = pp ', pp ' = 2sin y cos y, p— = 2sin y cos y, pdp = 2sin y cos ydy,

dy

f   7    ~ f 3 7    С   p2    sin4 y   С    2     . 4 r-^ ~"

j pdp = 21 sin y cos ydy + = —-— + ~~, p = sin y + Cj, p = ^ sin y + Cj ; J J 2    2        2 2

на підставі початкових умов

pi I ^ = y"(j) = j = ^jsm4 f + Cj,j ^Vi+C-, Cj = 0 і p = Vsm4;y = sin2

y.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1