2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 97
Другий крок.
2 dy 2
y = sin y — = sin y, dx
dy
sin2 y = dx, - cot y = x + C2.
Враховуючи першу початкову умову, маємо
- cotf = j + C2,0 = j + C2, C2 =-j,
2 2 2 2
і розв'зок даної задачі Коші дається формулою
cot y = j - x. Приклад j9. Розв'язати задачу Коші
Отформатировано: русский (Россия)
yy "-(у " )2 = у 4, y(0)=j, У " (0)=0.
Перший крок.
y" = p(y), y " = pp", ypp"- p 2 = y 4.
З початкових умов випливає, що y Ф 0, p Ф 0 (перевірте!), і пісня ділення на py маємо
" j зі
p — p = У —. yp
Отримали рівняння Бернуллі, розв'зок якого шукатимемо у вигляді
p = u(y )v(y X
звідки
3 (/-vl=.
У J uv
p = u v + uv , u v + uv--= —, u v + u
y uv
v dv v dv dy v - — = 0, — = —, — = —, ln v = ln x + ln C0, ln v = ln C0 x, v = C0 x, v = v0 (y) = y;
y dy y v y
2 ,.2
u'v,
У і У і і u y C 77- 77; 77
-, u y = —, udu = ydy— = — + —L, u = ±J y + Cj, p = ± yJy + Cj ;
uv0 uy 2 2 2
після врахування початкових умов маємо
p(y(0)) = y' (0) = 0 = ± y(0y y2 (0)+Cj = ±Vj7C7, VTTc- = 0, c, = - j,
Другий крок.
y' = ± y4y 2 - j, ddy = ± y4y 2 - J,
p = ±yvy -J.
dy
dx
dy
Ну -
dy
cos z sin zdz
cos2 z
уЬ - -
sin zdz
±dx, j
dy
sin zdz ± x + C2;
cos2
z
cos ^ cos" z
J
- J
= ±j ^os^ = ±j dz = ± z = sin z
sin z cos2 z
jj
= ± arccos — ; ± arccos— = ± x + C2.
yy
± arccos = ±0 + C2, ± arccos J = C2, C2 = 0.
y(0) 2 2 2
J
y
J
34J
Шуканий розв'язок задачі Коші
або просто
оскільки
± arccos — = ± x,
y
cos x
cos
: arccos-
= cos(± x), — = cos x, y =-.
y cos x
J
У
J
y
6. лінійні диференціальні рівняння другого порядку
6.1. ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ
Означення 1. Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку називається наступне диференціальне рівняння:
у " + a(x )y " + b(x)y = f (x). ( J )
Коефіцієнти a(x), b(x) та вільний член f (x) рівняння - відомі функції, а шуканою функцією є y = y(x).
Початкові умови для рівняння (J) мають звичайну форму
y(x0 ) = 3V y"(x0 ) = y0 ( 2 )
Рівняння (J) називається неоднорідним, якщо його вільний член f (x) не
дорівнює нулю тотожно.
Якщо ж f (x) = 0, рівняння
у " + a(x )y " + b(x )y = 0 ( 3 )
називається однорідним, яке відповідає неоднорідному рівнянню (J). Іноді його називають однорідним рівнянням, приєднаним до (неоднорідного) рівняння (J).
Теорема 1 (однозначна розв'язність задачі Коші). Якщо коефіцієнти і вільний член рівняння (J) неперервні на деякому відрізку [a, b], то задача Коші (J), (2) (зокрема (3), (2)) має єдиний розв'язок, і ций розв'язок визначено на всьому відрізку (а не в деякій його частині).
Приклад_1. Задача Коші для однорідного рівняння (3) з нульовими початковими умовами
y(x0 ) = 0, y " (x0 ) = 0 ( 4 )
має єдиний, а саме тривіальний розв'язок y = 0 .
Означення 2. Ліва частина диференціальних рівнянь (J), (3) називається лінійним диференціальним оператором і позначається L[y],
L[y ] = У " + a(x )y ' + b(x )y. ( 5 )
Лінійний диференціальний оператор посідає наступні властивості: J. L[y- + У2 ] = L[y- ]+ L\y2 ] (адитивність).
ft "
■ L[yj + y2 ]= (yj + y2 ) + a(x)(yj + y2 ) + b(x)(yj + y2 ) =
= у- + a(x)yJ + b(x)yj + y2" + a(x)y2 + b(x)y2 = L[yj ]+ L[y2 ]*
2. L[ky] = kL[y] для будь-якої константи k (однорідність).
■ L[ky]=(ky) + a(x)(ky) + b(x \ky ) = k (y " + a(x )y " + b(x)y) = kL\y ]■ Як наслідок для будь-яких констант kJ, k2 маємо
L[kJyj + k2y2 ] = kJL[yj ]+ k2L[y2 ]
(лінійність).
За допомоги лінійного диференціального оператора L[y] рівняння (J), (3) можна подати наступним чином:
L[У] = f (x), L[y]= 0.
Властивості розв"язків лінійного однорідного диференціального рівняння (3).
J. Сума скінченної кількості розв'язків рівняння (3) також є розв'язком. ■Нехай, наприклад yJ (x), y2(x) - два розв'язки рівняння (3), тобто
L\y- (x )] = 0, L[У2 (x )] = 0. За властивістю J лінійного диференціального оператора
L\y- (x)+ У2 (x)] = L\y- (x)] + L\y2 (x)] = 0^ 2. Добуток будь-якого розв'язку рівняння (3) на константу також є розв'язком.
■Нехай y (x) - розв'язок рівняння (3), тобто
L[y(x )]= 0,
а k - стала. За властивістю 2 лінійного диференціального оператора
L[ky (x )] = kL[y(x )] = 0.^
Наслідок. Сума добутків скінченної кількості розв'язків рівняння (3) на довільні сталі також є розв'язком.
Похожие статьи
2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1