2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 97

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Другий крок.

2   dy 2

y = sin y = sin y, dx

dy

sin2 y = dx, - cot y = x + C2.

Враховуючи першу початкову умову, маємо

- cotf = j + C2,0 = j + C2, C2 =-j,

2 2 2 2

і розв'зок даної задачі Коші дається формулою

cot y = j - x. Приклад j9. Розв'язати задачу Коші

Отформатировано: русский (Россия)

yy "-(у " )2 = у 4, y(0)=j, У " (0)=0.

Перший крок.

y" = p(y), y " = pp", ypp"- p 2 = y 4.

З початкових умов випливає, що y Ф 0, p Ф 0 (перевірте!), і пісня ділення на py маємо

"    j зі

p p = У . yp

Отримали рівняння Бернуллі, розв'зок якого шукатимемо у вигляді

p = u(y )v(y X

звідки

3     (/-vl=.

У J uv

p = u v + uv , u v + uv--= —, u v + u

y uv

v     dv   v dv dy v - = 0, — = —, — = —, ln v = ln x + ln C0, ln v = ln C0 x, v = C0 x, v = v0 (y) = y;

y     dy  y v y

2 ,.2

u'v,

У      і     У      і        і   u     y     C 77- 77; 77

-, u y = , udu = ydy— = + L, u = ±J y + Cj, p = ± yJy + Cj ;

uv0 uy 2     2 2

після врахування початкових умов маємо

p(y(0)) = y' (0) = 0 = ± y(0y y2 (0)+Cj = ±Vj7C7, VTTc- = 0, c, = - j,

Другий крок.

y' = ± y4y 2 - j, ddy = ± y4y 2 - J,

p = ±yvy -J.

dy

dx

dy

Ну - ­

dy

cos z sin zdz

cos2 z

уЬ - -

sin zdz

±dx, j

dy

sin zdz ± x + C2;

cos2

z

cos ^ cos" z

J

- J

= ±j ^os^ = ±j dz = ± z = sin z

sin z cos2 z

jj

= ± arccos — ;   ± arccos— = ± x + C2.

yy

± arccos      = ±0 + C2, ± arccos J = C2, C2 = 0.

y(0)        2 2 2

J

y

J

34J

Шуканий розв'язок задачі Коші

або просто

оскільки

± arccos — = ± x,

y

cos x

cos

: arccos-

= cos(± x),   — = cos x,   y =-.

y cos x

J

У

J

y

6. лінійні диференціальні рівняння другого порядку

6.1. ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ

Означення 1. Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку на­зивається наступне диференціальне рівняння:

у " + a(x )y " + b(x)y = f (x). ( J )

Коефіцієнти a(x), b(x) та вільний член f (x) рівняння - відомі функції, а шука­ною функцією є y = y(x).

Початкові умови для рівняння (J) мають звичайну форму

y(x0 ) = 3V y"(x0 ) = y0 ( 2 )

Рівняння (J) називається неоднорідним, якщо його вільний член f (x) не

дорівнює нулю тотожно.

Якщо ж f (x) = 0, рівняння

у " + a(x )y " + b(x )y = 0 ( 3 )

називається однорідним, яке відповідає неоднорідному рівнянню (J). Іноді йо­го називають однорідним рівнянням, приєднаним до (неоднорідного) рівняння (J).

Теорема 1 (однозначна розв'язність задачі Коші). Якщо коефіцієнти і ві­льний член рівняння (J) неперервні на деякому відрізку [a, b], то задача Коші (J), (2) (зокрема (3), (2)) має єдиний розв'язок, і ций розв'язок визначено на всьому відрізку (а не в деякій його частині).

Приклад_1. Задача Коші для однорідного рівняння (3) з нульовими почат­ковими умовами

y(x0 ) = 0, y " (x0 ) = 0 ( 4 )

має єдиний, а саме тривіальний розв'язок y = 0 .

Означення 2. Ліва частина диференціальних рівнянь (J), (3) називається лінійним диференціальним оператором і позначається L[y],

L[y ] = У " + a(x )y ' + b(x )y. ( 5 )

Лінійний диференціальний оператор посідає наступні властивості: J. L[y- + У2 ] = L[y- ]+ L\y2 ] (адитивність).

ft "

L[yj + y2 ]= (yj + y2 )   + a(x)(yj + y2 )  + b(x)(yj + y2 ) =

= у- + a(x)yJ + b(x)yj + y2" + a(x)y2 + b(x)y2 = L[yj ]+ L[y2 ]*

2. L[ky] = kL[y] для будь-якої константи k (однорідність).

L[ky]=(ky) + a(x)(ky) + b(x \ky ) = k (y " + a(x )y " + b(x)y) = kL\y ]■ Як наслідок для будь-яких констант kJ, k2 маємо

L[kJyj + k2y2 ] = kJL[yj ]+ k2L[y2 ]

(лінійність).

За допомоги лінійного диференціального оператора L[y] рівняння (J), (3) можна подати наступним чином:

L[У] = f (x), L[y]= 0.

Властивості розв"язків лінійного однорідного диференціального рів­няння (3).

J. Сума скінченної кількості розв'язків рівняння (3) також є розв'язком. ■Нехай, наприклад yJ (x), y2(x) - два розв'язки рівняння (3), тобто

L\y- (x )] = 0, L[У2 (x )] = 0. За властивістю J лінійного диференціального оператора

L\y- (x)+ У2 (x)] = L\y- (x)] + L\y2 (x)] = 0^ 2. Добуток будь-якого розв'язку рівняння (3) на константу також є роз­в'язком.

■Нехай y (x) - розв'язок рівняння (3), тобто

L[y(x )]= 0,

а k - стала. За властивістю 2 лінійного диференціального оператора

L[ky (x )] = kL[y(x )] = 0.^

Наслідок. Сума добутків скінченної кількості розв'язків рівняння (3) на довільні сталі також є розв'язком.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1