2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 100

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

y = Cf yf + C2 y2 = Cfe5 x + C2 xe5 x = e5 x (Cf + xC2).

6.4.4. Корені характеристичного рівняння — комплексні

Нехай, нарешті, дискримінант характеристичного рівняння (14) від'єм­ний, так що характеристичне рівняння має два комплексні корені

k12 = а ± і/ = - b/(2a), /3 =J-L>/(2a)).

Ми могли б зразу написати два комплексні частинні розв'язки рівняння

(12),

y   = e (a±'P)x

але краще знайти дійсні розв'язки, і ми спроможні зробити це. Дійсно, послу­говуючись формулою Ейлера

elx = cos x + i sin x,

отримуємо

yf = e(a+i/)x = eax+i/x = eaxei3x = eax (cos/x + i sin /x) = eax cos/3x + i eax sin /x. Тепер на підставі властивості 3 розв'язків лінійного однорідного диференціаль­ного рівняння з дійсними коефіцієнтами (див. п. 6.1) дві дійсні функції

ax о ax   о

yf = e  cos px, y2 = e  sin px є частинними розв'язками рівняння (12), причому лінійно незалежними, оскіль­ки

y,    ea cos Bx

=-— = cot Bx Ф const.

ax        n '

y2    e  sin /3x

Таким чином, загальний розв'язок рівняння (12) в даному випадку є

y = Cfyf + C2y2 = C1eaa cos /3x + +C2ea sin /3x = ea (Cf cos /3x + +C2 sin /x). Приклад 9. y " - 4 y " +18 y = 0. Характеристичне рівняння

k2 - 4k +18 = 0

має комплексні корені

к

2±V-56 2± iV56 2± 2iVi4 ,./7-7 , _ rr-r =---=--— =--— = 1 ± Wl4, a = 1, B = Vl4.

1,2 2 2 2

Тому диференціальне рівняння має два дійсні лінійно незалежні розв'язки

yf = ebx co^^If4x = ex cosVi4x, y2 = el x sin V14x = ex sin ^/T4x, які дають можливість отримати загальний розв'язок

y = Cfyf + C2y2 = Cfex cosVi4x + +C2ex sin Vi4x = ex(Cf co^a/T4x + C2 sin ^/І4x). Приклад 10. Для вже відомого рівняння

y " + a2 y = 0 (приклади 5, 6) характеристичне рівняння

к2 + a2 = 0

має комплексні корені

kf 2 = ±V- a2 = ±ai, a = 0, / = a. Отже, лінійно незалежні дійсні розв'язки диференціального рівняння є

yf = e°'x cos ax = cos ax, y2 = e°'x sin ax = sin ax, а загальний розв'язок дається формулою

y = Cf yf + C2y2 = Cf cos ax + C2 sin ax. Цей результат збігається з отриманим в прикладі 6. Зауваження. Позначмо

P(k) = к2 + pk + q

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку 354 ліву частину характеристичного рівняння (14). Тоді наявність у нього двох різ­них коренів k1, к2 (дійсних або комплексних) можна висловити символічно та­ким чином:

Р{кг ) = 0,   Р'{кг )ф 0,   і = 1,2. Якщо ж характеристичне рівняння має два дійсних рівних корені к1 = к2 = к0, то цей факт можна символічно подати так:

Р(к0) = Р'(к0)= 0,   Р"(к0 0.

6.5. ЛІНІЙНІ НЕОДНОРІДНІ РІВНЯННЯ 6.5.1. Структура загального розв"язку

Теорема 6 (структура загального розв'язку лінійного неоднорідного ди­ференціального рівняння). Загальний розв'язок лінійного неоднорідного дифе­ренціального рівняння дорівнює сумі загального розв'язку y3O відповідного однорідного рівняння та якого-небудь частинного розв'язку уЧН даного рівнян­ня,

у = Узн = Узо + Учн . ( 18 )

■ Нехай, наприклад,

- загальний розв'язок лінійного однорідного рівняння (3), яке відповідає неод­норідному рівнянню (1) другого порядку. Тут y1, y2 - два лінійно незалежних розв'язки однорідного рівняння (3) на якомусь відрізку [a, b]. Функція

є на [a, b] розв'язком рівняння (1) для будь-яких значень сталих C1, C2, оскіль­ки

L[y] = L[C1 у1 + C2У2 + Учн ] = QL^ ]+ C2h\y2 ] + Ь[учн ] = 0 + 0 + f (x) = f (x). Нам треба тільки показати, що для довільних початкових умов (2) можна знай­ти значення сталих C1, C2 так, щоб задовольнити ці умови.

Оскільки

у 0 ) = С1 Уі 0 ) + С 2 У 2 0 ) + Учи 0 \ У'(х0 ) = С1 У(х0 ) + С2 у" (x0 ) + Учи (x0 ) , ми дістаємо систему лінійних алгебричних рівнянь відносно С1, С2, а саме:

|С1У' 0 ) + С2У2 0 ) + учи 0 ) = У0,

1С1У1(х0 ) + С2 У 2 0 ) + Учи 0 ) = у 0. Система має єдиний розв'язок, бо її головний визначник є значенням вронскіа-на W(х0),y2(х0)] розв'язків У', y2 рівняння (3), а тому відмінний від нуля внаслідок лінійної незалежності останніх і теореми 4.и Приклад 11. Функція

у = С1 cos х + С2 sin х +1/a2 є загальним розв'язком диференціального рівняння

У" + a2 у = 1.

Дійсно, функція

у = С1 cos х + С2 sin х є загальним розв'язком відповідного однорідного рівняння

У" + a2 у = 0

(див. приклади 5, 6), а функція

У = V a2

- частинним розв'язком даного рівняння.

6.5.2. Метод варіації довільних сталих Лаґранжа1

Нехай ми шукаємо загальний розв'язок лінійного неоднорідного дифе­ренціального рівняння другого порядку (1). Ми можемо разом з Лаґранжем зді­йснити це в наступні два етапи.

1. Спочатку ми шукаємо загальний розв'язок

узо = С1 у1 + С2 у2

1 Лаґранж, Жозеф Луї (1736 - 1813), - видатний французький математик, механік і астроном.

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку 356 відповідного лінійного однорідного диференціального рівняння (3), де yx,y2 -

два його лінійно незалежні частинні розв'язки (на деякому відрізку).

2. Шукатимемо тепер загальний розв'язок уЗН вихідного рівняння (1) в тому ж самому вигляді, що й загальний розв'язокуЗО рівняння (3), але тракту­ючи С1, C2 не як довільні сталі, а як невідомі функції, саме:

У = УЗН = C1 (Х)у1 + C2 (x)y2. ( 19 )

Знайдімо спочатку першу похідну шуканої функції,

у = C"(x 1 + C2 (x)y2 + C1(x )y'i + C2 (x)y2,

а потім припустімо, що

C"(x 1 + C 2(x 2 = 0.

Тоді

у = c (x )у[ + c2 (х)у2, у" = с" (х)у[ + C2 (x 2 + c (х)у';+c2 (x )у'2'.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1