2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 101

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Підставляючи значення функцій у, у" , у "в рівняння (1), матимемо

С^у" + C2 (x)y2 + C (x)yl"+ C2 (x)y2' + a{x\C (x)Уl' + C2 (x)y2) +

b(x)(C1 (x)y1 + C2 (x)y2 ) = f(x\

C" (x )y" + C2 (x )y2 + C1 (x X y: + a(x )y[ + b(x)y,) + C2 (x)(y22 + a(x)y2 + b(x )y2 )= f (x), C"(x)y[ + C2 (x)y2 + C1 (x) 0 + C2 (x) 0 = f (x), C"(x)y[ + C2 (x)y'2 = f(x). Дістаємо систему лінійних алгебричних рівнянь відносно похідних C1', C2 функцій C1 , C2

Г с" (x+ C2 (x)у2 = о, ( 20 )

Lc" (x )у" + C2 (x)y2 = f (x).

Розв'язуючи систему (20), отримуємо

с"(x) = р1(x), с2(x) = р2(x), де    (x), ср2 (x) деякі відомі функції. Інтегруючи, остаточно маємо

C"(x) = j"p(x)dx + C", C2(x) = |р2(x)dx + C2 ( 21 )

де C", C2 - довільні сталі. Загальний розв'язок рівняння (1) дається формулою

у = уЗН = C1 (x1 + C2 (x2 = (j р1 (xx)dx + C1 1 + (j р2 (xx)dx + C2 2.       ( 22 )

Якщо подати загальний розв'язок (22) у вигляді

у = уЗН = C1 у1 + C2 у2 + у1 j р1 (x x)dx + у 2 j р2 (x x)dx ,

побачимо, що функція

є загальним розв'язком відповідного однорідного рівняння (3), а функція

уЧН = у1 j Р" (x )dx + у2 j Р2 (x )dx

- частинним розв'язком вихідного неоднорідного рівняння (1). Отже, формула (22) має саме ту структуру, яка визначена Теоремою 6 (і формулою (18)).

Приклад 12. Знайти загальний розв'язок лінійного неоднорідного дифе­ренціального рівняння другого порядку

у"" 2 у' + у = .

x +1

1. Записуємо спочатку відповідно однорідне рівняння

у" -2у" + у = 0.

Його характеристичне рівняння

k2 - 2k +1 = 0

має рівні дійсні корені k" = k 2 = 1 (k0 = 1), а тому однорідне рівняння має (на множині всіх дійсних чисел) два лінійно незалежні частинні розв'язки

і загальний розв'язок

уЗО = C1 у1 + C2у2 = C1eX + C2ж* .

2. Тепер шукаємо загальний розв'язок даного рівняння у вигляді

у = уЗН = C1 (x)y1 + C2 (x)y2 = C1 (x)eX + C2 (x)xeX .

За формулою (20) дістаємо систему лінійних алгебричних рівняння відносно относительно C" , C2 і розв'язуємо її. Маємо

\ C" (x )у" + C2 (x )у2 = 0, C" (x) у" + C2 (x 2

x2 + 1

C" (x)ex + C2 (x)xex = 0, C" (x)ex + C2 (x )(1 + x )e

ex

x2 +C" (x) + C2 (x )x = 0, C" (x)+ C2 (x )(1 + x ) =

x2 + "

A = 1x 1   1 + x| = 1, A" = 0 1

x2 +1

x 1+x

x2 +1

A2 =

0 1

x2 +1

x2 +1

C"(x) = A" = - x

A

+1

C2 (x)=A2 1

A

x2 + "

Інтегрування дає

2J x2 +1

C2 (x )=j

dx

x2 +1 2

C2 = arctan x + C2

звідки знаходимо загальний розв'язок даного диференціального рівняння

у = Узн = C"(x)ex + C2(x)xex =[-"-In(x2 +1)+ C" \ex +(arctanx + C2)xex

, 2

Приклад 13. Розв'язати задачу Коші

у" - 3у" + 2у = :-+—-,   у(0) = у"(0) = 0.

1 + e x

1. Для відповідного однорідного рівняння

у" - 3 у' + 2 у = 0

знаходимо лінійно незалежні частинні розв'язки

у" = ex, у2 = e2x

і загальний розв'язок

у = y30 = C1ex + C2e'x .

2. Тепер шукаємо загальний розв'язок даного рівняння у вигляді

у = у= C1 (xУ + C2 (x)e'x .

За формулою (20) отримуємо, а далі розв'язуємо систему лінійних алгебричних рівняння відносно C1 , C2 .

1

1

1

x

C" (x )ex + C2 (x )e2 x = 0,

C" (x )ex + 2C2 (x )e2

A =

1   e2

= ex, A" = C" (x )

0

1

1 + e~

'1 + e -x

2e2

1

C" (x)+ C2 (x )ex = 0,

ІС" (x)+ 2C2 (x)ex = L 1 + e

_1 + e -x

A 2 =

0 1

1 + e-x

1 + e -x

A

+ e x, C2(x)    A    (1 + e-x)ex

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1