2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 102

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Інтегруючи, знаходимо функції С" (x), C2 (x),

C" (x) = - j " dx + C" = - j edx + C" = J 1 + e x J ex +1

= -j(e + " dx + С =-ln(ex +1)+ С,

C2 (x )=j(1 + і' x )ex dx + C =J "fe^x dx + C =

= -j(" + e   ) dx + C2 =-ln(1 + e-x)+ <C2.

Загальний розв'язок даного рівняння є

у =      = (- ln(ex +1)+ С" )ex + (- ln(1 + e x)+ ^2)e2x .

3. Нарешті знаходимо значення сталих С", С2 з початкових умов. Для зручності знайдімо спочатку похідну шуканої функції

у" =      = -+ (- ln(ex +")+ С" )ex - + (- ln(1 + e x)+ C2)2e2

а потім - значення функцій у, у " в точці x = 0,

у(0) = С -ln2 + С2 -ln2 = С" + С2 -2ln2, у "(0) = С" + 2<C2 - 3ln2. На підставі початкових умов повинні мати

у (0) = 0, у "(0) = 0.

Звідси отримуємо систему рівнянь відносно сталих С", С2,

Г С?" + С2 -2ln2 = 0,    Г С?" + CC2 = 2ln2,    С?" = ln2, + 2C2 -3ln2 = 0,   [C" + 2CC2 = 3ln2,   C2 = ln2.

x

e

1

x

1

e

x

x

1

e

e

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку 360 Шуканий розв'язок задачі Коші

y = (-ln(ex +1)+ \n2]ex + (-ln(l + e~x) + ln2)e2x = ex In+ e2x In. 6.5.3. Метод невизначених коефіцієнтів

Нехай дано лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з сталими кое­фіцієнтами. Якщо вільний член рівняння має спеціальний вигляд (див. нижче), ми можемо знайти частинний розв'язок неоднорідного рівняння методом неви­значених коефіцієнтів, не вдаючись до інтеґрування.

Зупинимось на лінійному диференціальному рівняння другого порядку

y" + py' + qy = f(x) ( 23 )

з сталими коефіцієнтами p, q.

1. Нехай вільним членом рівняння (23) є так званий квазіполіном, тобто добуток показникової функції на деякий многочлен n-го степеня,

f (x) = eax (anxn + an-1 xn-1 +... + a1 x + a0). ( 24 )

В такому разі ми шукаємо частинний розв'язок рівняння у вигляді

y =      = xreax (Anxn + Ап-1 xn-1 +... + Д x + Ao), ( 25 )

де

Anxn + An-1 xn-1 +... + A1 x + A ( 26 )

- многочлен того ж степеня, що й у формулі (24), але з невизначеними коефіці­єнтами An, An-1,..., A1, A0, а число r визначається наступними умовами:

а) r = 0, якщо а не є коренем характеристичного рівняння;

б) r = 1, якщо а є простим коренем характеристичного рівняння;

в) r = 2, якщо а є двократним коренем характеристичного рівняння. Нехай, зокрема, вільний член рівняння (23) є многочленом n-го степеня

(випадок а = 0)

f (x) = anxn + an-1 xn-1 +... + a1 x + a0. ( 27 )

Тоді ми шукаємо частинний розв'язок у виглядУ = Учн = xr (Anxn + An-1 xn- +... + A x + A0), ( 28 )

де

Anxn + An-1 xn-1 +... + A1 x + A ( 29 )

- многочлен того ж степеня, що і в формулі (27), але з невизначеними коефіці­єнтами, а число r визначається умовами:

а) r = 0 , якщо 0 не є коренем характеристичного рівняння;

б) r = 1 , якщо 0 є простим коренем характеристичного рівняння;

в) r = 2 , якщо 0 є двократним коренем характеристичного рівняння.

2. Розглянемо тепер випадок, коли вільний член рівняння (23) має вигляд f (x) = eax (A cos fix + B sin Bx) ( 30 )

(a, fi, A, B - відомі сталі). В такому разі ми шукаємо частинний розв'язок рів­няння у вигляді

y = уЧН = xrea (M cos fix + N sin fix), ( 31 )

де M, N - невизначені коефіцієнти, а число r визначене умовами:

а) r = 0, якщо а + ifi не є коренем характеристичного рівняння;

б) r = 1, якщо а + iB є коренем характеристичного рівняння. Якщо, зокрема,

f(x) = A cos fix + B sin fix ( 32 )

(випадок а = 0 ), ми шукаємо частинний розв'язок у вигляді

У = Учн = xr (M cos fix + N sin fix), ( 33 )

де M, N - невизначені коефіцієнти, а число r r визначене умовами:

а) r = 0 , якщо ii не є коренем характеристичного рівняння;

б) r = 1 , якщо ii є коренем характеристичного рівняння. Приклад 14. y" + 5 y" + 6 y = 2 xe~3x.

1. Відповідне однорідне рівняння

y" + 5 У + 6 y = 0

(див. приклад 7). Корені характеристичного рівняння к2 + 5k + 6 = 0 дорівню-

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку 362 ють - 2, - 3, загальний розв'язок рівняння

У ЗО = C1e       + C2e

2. Далі ми шукаємо частинний розв'язок даного (неоднорідного) рівняння. Відповідно до формул (24), (25), (26) (тут a1 = 2, a0 = 0; число а = -3 є простим коренем характеристичного рівняння, так що r = 1) шукаємо частин­ний розв'язок у вигляді

y = учн = xl e~3x x + Ao) = e- 3 і x2 + Ao x). Знаходячи похідні функції y = уЧН,

У = e~3x (- 3A1 x2 - 3A0x + 2A1 x + A0), y" = e~3x (9A1 x2 - 12A1 x + 9A0x + 2A1 - 6A0), ми підставляємо значення функцій y, y', у" в дане рівняння і після зведення подібних членів отримуємо

(- 2Д x + 2A - A )e~3x = 2xe~3x,   - 2A x + 2A1 - A = 2x. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях x, приходимо до системи лінійних алгебричних рівнянь відносно невизначених коефіцієнтів A1, A0, а са­ме:

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1