2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 103

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

1

x

x0

- 2Д = 2, A1 =-1, 2Д - A0 = 0;   A0 =-2.

= e-3x (- x2 - 2x),

Таким чином,

y = y4H = e   "(- x' і загальний розв'язок даного рівняння дається наступним виразом:

у = Узн = Узо + Учн = C^2 x +     -3 x - e~3x (x2 + 2 x). Приклад 15. y"- 10y' + 25 y = 3e5 x. 1. Відповідне однорідне рівняння

y" -10y" + 25y = 0

(див. приклад 8). Його характеристичне рівняння k2 - 10k + 25 = 0 дійсні рівні корені k1 = k2 = 5 (або ж один, але двократний корінь k0 = 5), y зо CC-^e  ~+ CC2 xe . 2. Використовуючи ті ж самі формули (24), (25), (26) (тут a0 = 3, а число а = 5 є двократним коренем характеристичного рівняння, так що r = 2), ми шу­каємо частинний розв'язок даного рівняння у вигляді

y = y4H = x 2 e' ^ (з невизначеним коефіцієнтом A0 ), так що

y" = (2x + 5x2 У xA0, y" = (2 + 20x + 25x2 )e5xA0. Підстановка функцій y, y", y" в задане рівняння дає

3

2e5Ч = 3e5x ,2A0 = 3, A0 = 2.

і отже

3    2 5x

y = y4H = 2 x e ,

3

y = y3H = УЗО + y4H = C1e5x + C2x + 2 x2e5x ^

Приклад 16. y" - 4y" +18y = 3 cos 2x + 5 sin 2x.

1. Відповідне однорідне рівняння

У" - 4 y" +18 y = 0

розглядалося в прикладі 9. Його характеристичне рівняння k2 - 4k +18 = 0 має комплексні корені 1 ± z'V14 , а його загальний розв'язок є

УЗО = ex (C1 cosVT4x + +C2 sin VT4x).

2. Для знаходження частинного розв'язку даного рівняння ми використо-ваємо формули (32), (33) (A = 3, B = 5, а = 0, В = 2; число r = 0, бо iB = 2i не є коренем характеристичного рівняння). Ми шукаємо частинний розв'язок у ви­гляді

У = УЧН = x0 cos 2x + N sin 2x) = M cos 2x + N sin 2x. Оскільки

y " = -2M sin 2x + 2N cos 2x, y " = -4M cos 2x - 4N sin 2x,

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку 364 підстановка значень функцій y, y", y" в дане рівняння дає

(14М - 8N)cos 2x + (8М +14N)sin 2x = 3 cos 2x + 5 sin 2x. Прирівнюючи коефіцієнти при cos 2x, sin 2x, дістаємо систему рівнянь віднос­но невизначених коефіцієнтів М, N

Ґ14М - 8N = 3,     М = 41/130, 41 23

< == ,      => y4H =-cos2x +--sin2x =>

[8М + 14N = 5,     N = 2^130, 130 130

C1 cos VT4x + +C2 sin VT4x)+      cos 2 x +sin 2 x.

Приклад 17. Розв'язати задачу Коші

y " - 4y" +13y = 4e2x sin 3x,   y(0) = 1, y"(0) = 0.

1. Для відповідного однорідного рівняння

У" - 4 y" +13 y = 0

ми маємо характеристичне рівняння k2 - 4k +13 = 0 з комплексними коренями

2 ± 3i, отже,

y1 = e   cos3x, y2 = e   sin3x,   y00 = C1e   cos3x + C2e   sin3x.

2. Для знаходження частинного розв'язку вихідного рівняння візьмемо до уваги формули (30), (31) (A = 0, B = 4, а = 2, /3 = 3; число а + iB = 2 + 3i є коре­нем характеристичного рівняння, а тому r = 1). Покладаємо

У = УЧН = xe2x cos3x + N sin 3x)

3 невизначеними коефіцієнтами М, N. Знаходячи похідні

Учн = e2 x ((М + 2 xM + 3xN) cos 3x + (N + 2 xN - 3xM )sin 3x), УЧН = e2x ((4M + 6N + 4xM +12xN - 9xM)cos3x + + (4N - 6M + 4xN -12xM - 9xN)sin 3x) та підставляючи значення функцій учн , у'чн , у"чн в дане рівняння, отримаємо тотожність

e2x (6N cos3x - sin3x) = 4e2x sin3x, 6N cos3x - 6M sin3x = 4sin3x.

Прирівнюємо коефіцієнти при cos3x, sin3x, дістаючи систему рівнянь відносно M, N

cos3xІ sin3x

і тому

2

Узя = УЗО + Учн = C1e   cos3x + C2e   sin3x - 3 xe   cos3x.

3. Для знаходження відповідних значень сталих C1, C2 врахуємо початко­ві умови.

6 N = 0,     N = 0, 22 x ,

,     yPN = xe cos3x, - 6M = 4, M = - 2/3,     PN 3

w     3 j j

(f 2       > ^

уЗН = 2e2x \\C1 - x j cos 3x + C2 sin 3x | + e2x | [ - 3 + 3C2 | cos 3x + (2x - 3C1 )sin 3x

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1