2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 105

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

уЗН = уЗО + уЧН = C1e2 x + С2 xe2 x + 3 + 4 x + 2 x2 + 4 x2 e2 x + cos2 x.

7. НОРМАЛЬНІ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ 7.1. ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ

Означення 1. Нормальною системою диференціальних рівнянь пер­шого порядку з n невідомими функціями у1 (x), у1 (x),у1 (x) називається сис­тема

' уі' = /1 (x, yl, y2,..., yn ),

у2 = /2yl,y2,...,yn), ( , )

( 1 )

. Уп = fn (x, yl, y2,..., yn )

Означення 2. Розв"яком нормальної системи (1) називається впорядко­вана множина n функцій у = ср1 (x), у = ср2 (x),у = cpn (x) яка задовольняє кожне її рівняння.

Означення 3. Задачею Коші для нормальної системи (1) називається за­дача знаходження розв'язку системи, що задовольняє початкові умови

у1 (x0 ) = ^ у2 (x0 ) = У20,        yn (x0 ) = yn0 ( 2 )

Теорема 1. Якщо функції /(x,у1,у2,...,yn), i = 1,n, та їх перші частинні похідні по у1,у2,...,yn неперервні в деякій області D (n + 1)-вимірного простору x, у1, у2,..., yn, то для будь-якої точки

M 0 (x0, yl0, У20,..., yn 0 )Є D

задача Коші (1), (2) має розв'язок, причому єдиний.

Означення 4. Загальним розв"язком нормальної системи (1) (в області D, що фігурує в теоремі 1) називається впорядкована множина n функцій

у = pi (xs C2,..., Cn ^ i = 1, n ,

що містять n довільних сталих, яка задовольняє дві умови: а) ця множина є роз­в'язком системи для будь-яких значень сталих С1, С2,Cn; b) для будь-яких

початкових умов (2) (якщо M0(x0,у10,у20,...,yn0 D) можна знайти значення

сталих С1 = С10, С2 = С20,Cn = Cn0, щоб задовольнити ці умови.

Нормальні системи диференціальних рівнянь

Теорема 2. Будь-яка система диференціальних рівнянь довільного поряд­ку, зокрема диференціальне рівняння n-го порядку можна звести до нормальної системи рівнянь першого порядку.

■Нехай, наприклад, дано диференціальне рівняння третього порядку

тобто нормальну систему рівнянь першого порядку відносно шуканих функцій

7.2. МЕТОД ВИКЛЮЧЕННЯ ДЛЯ ІНТЕҐРУВАННЯ НОРМАЛЬНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

Теорема 3. Нормальну систему диференціальних рівнянь (1) можна, як правило, звести до одного диференціального рівняння n-го порядку за допомо­гою так званого метода виключення.

■Обмежмося нормальною системою двох лінійних рівнянь з сталими коефіцієнтами відносно шуканих функцій y(x), z(x)

Продиференціюємо перше рівняння та замінимо похідні шуканих функ-

у"' = / (x, у, у', у").

Покладаючи у = у1, у' = у" = у2, у" = у2 = у3, ми отримаємо

у1 = у 2,

у2 = ^

. у3 = / ^     y2, уз \

( 4 )

де

аз = al2 + a2bl, ьз = aftl + ^ /з(x) = aJl(x) + Ъ1/г(x) + /'(x).

Нормальні системи диференціальних рівнянь 370 З першого рівняння системи знайдемо z(x) (якщо це можливо) і підставимо йо­го значення в рівняння (4),

z(x)= y'(x Ь aly(x)~ /l(x) ( 5 )

y"(x) = a3y(x)+ Ъ3 y^)-aly}X)-/j(x) + /3(x),

1

у "(x) = ay '(x) + by(x) + /4 (x), ( 6 )

де

a =     Ъ = a3 -       /4 (x ) = /3 (x)-b /1 (x).

1 1 1

Таким чином, систему (3) зведено до диференціального рівняння (6) дру­гого порядку.^

Нехай тепер

y(x)= р1 (x C1, С2 )

- загальний розв'язок диференціального рівняння (6). Знаходячи z(x) з (5),

dPl" С2) -ap(x, Cj, С2)-/1 (x) z(x) =-^-Ъ-= P2(x, Cj, C2),

отримуємо загальний розв'язок системи рівнянь (3)

y(x) = pl (x, C1, C2 \ z(x) = p2 (x C1, C2 ).

Приклад 1. Розв'язати задачу Коші для системи рівнянь

г у' = 2 у + z, [ z" = 3 у + 4z

з початковими умовами у(0) = 1, z(0) = -2.

Застосовуючи викладену теорію, маємо

у" = 2 у + z' = 2(2 у + z )+(3у + 4z ) = 7 у + 6 z = 7 у + 6(у'-2 у ) = 6 у'-5 у,

у" = 6у' - 5у, z = у' - 2у.

у" = 6у " - 5у, у" - 6у " + 5у = 0, у = Clex + С2є5x, z = у" - 2у = -Clex + 3С2є5x. Загальний розв'язок системиу = C1ex + С2є5x, z = -C1ex + 3C2e5x.

Враховуючи далі початкові умови, отримуємо

j у(0) = Cj + С2 = 1, j Cj + С2 = 1, с= 5 С =-1_ [z(0)=-С1 + 3С2 =-2; [-С1 + 3С2 =-2;   1    4,   2 4.

Шуканий розв'язок задачі Коші

5       1 5 3

C2 e

у = -ex--e3x, z = --ex--C2e5x 4      4 4      4 2

Приклад 2. Знайти загальний розв'язок системи рівнянь

j у " = 2 у + z - 15e 2 x, [     z " = у + 2 z.

На підставі теорії

z = у" - 2у +15e-2x, у" = 2у" + z" + 30e~2x = 2(2у + z -15e~2x)+ (y + 2z)+ 30e~2x = = 5у + 4z = + 4(y " - 2у +15e-2x )= 4у" - 3у + 60e ~2x, у " = 4у" - 3у + 60e-2x,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1