2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 106

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

у " - 4у " + 3у = 60e-2x,

а) у" - 4у' + = 0,      = Cjex + С2e3x;

б) у = увд = Ae 2x, у " = -2Ae 2x, у " = 4Ae 2x,

4Ae-2x + 8Ae-2x + 3Ae ~2x = 60e"2x ,15Ae "2x = 60e"2x, A = 4, увд = 4e ~2x, у = Уон = Уоо + Учн = Cjex + С2e3x + 4e"2x, z = у " - 2у +15e-2x = -C1ex + C2e3x +15e~2x.

Шуканий загальний розв'язок має вигляд

1e + C2e   + 4e    , z =-C1e + C2e   + 15e .

8. ПОНЯТТЯ ПРО НАБЛИЖЕНІ МЕТОДИ ІНТЕҐРУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

8.1. МЕТОД ПОСЛІДОВНИХ НАБЛИЖЕНЬ

Розглянемо задачу Коші для диференціального рівняння першого порядку

У = f (x, у ), ( 1 )

У(*0 )= yo. ( 2 )

Теорема 1. Задача Коші (1), (2) є еквівалентною наступному інтегрально­му рівнянню

x

y(x) = y + J f (x, y(x))dx ( 3 )

■a) Якщо функція y = y(x) є розв'язком задачі Коші, то

y(x) = f (x y(x)), y(xo) = yo. Інтегриручи тотожність, отримуємо

x x0

У(x) = J f (x,y(x))dx + C, y(xo) = yo = J f (x,y(x))dx + C, C = yo,

x0 x0

x

y(x)= yo + J f (x, y(x))dx-

Отже, функція y = y(x), тобто розв'язок задачі Коші (1), (2), є також розв'язом

інтегрального рівняння (3).

б) Нехай тепер функція y = y(x) є розв'язком інтегрального рівняння,

тобто

x

y(x ) = yo + J f (x y(x))dx.

Звідси випливає, що y(xo ) = yo, а після диференціювання рівняння маємо

y(x ) = f (x y(x)).

Таким чином, названа функція є також розв'язком задачі Коші (1), (2).^

На підставі доведеної теореми замість задачі Коші (1), (2) розглядатимемо

інтегральне рівняння (3).

Будемо послідовно покладати

x

y1(x ) = yo + J f (x yo )dx,

xo

x

y2 (x) = yo + J f (x y1 (x ))dx ,

xo

x

y3 (x ) = yo + J f (x y2 (x ))dx ,

xo

x

yn (x) = yo + J f (x yn-1 (x ))dx , ( 4 )

xo

Теорема 2. Якщо функція f (x, y) та її частинна похідна по y, f'y(x, y), не­перервні в деякій області D площини xOy, то існує така функція y(x), що для довільного x з деякого інтервала [a, b] маємо

lim yn(x ) = y(x).

Доведення теореми (навіть за менш обтяжливих умов, що накладаються на частинну похідну f'y(x, y)), міститься в більш грунтовних курсах диференці­альних рівнянь.

Переходячи тепер до границі при n —» оо в рівності (4), дістаємо рівність

x

y(x ) = yo + J f (x y(x))dx.

xo

Вона означає, що функція y(x) є розв'язком інтегрального рівняння (3), а отже й розв'язком задачі Коші (1), (2).

На підставі сказаного формула (4) дає наближене значення шуканого роз­в'язку задачі Коші (1), (2).

Зауваження. Функція yn, яку подано формулою (4), називається n-им на­ближенням до шуканого розв'язку задачі Коші.

Приклад 1. Знайти перші три наближення до розв'язку задачі Коші

У = x2 + y2, y(o)= o. Тут xo = yo = o, і задача Коші є еквівалентною інтегральному рівнянню

y(x ) = J(x2 + y2 (x))dx.

Отже,

y (x )=J(x2 + o2 (x ))dx =

x

У2 (x )=J

x 3

y

f„3

x

3 63

 

3

2 ,

x

x +

 

 

l 3 )

x 7 ^ 2 ^

2

dx

3 7

xx 3    63:

dx

-+-

x

3    63   2o79 59535

Продовжуючи цей процес, ми можемо знайти значення розв'язку задачі Коші з довільною точністю (на певному інтервалі значень x, який для деяких рівнянь може навіть збігатися з множиною всіх дійсних чисел).

8.2. МЕТОД ЕЙЛЕРА1

Нехай ми шукаємо розв'зок задачі Коші (1), (2) на відрізку [xo, b]. Поділимо відрізок на n рівних частин довжини

h = b^x°. n

Очевидно, точками ділення будуть точки

xo < x1 < x2 <... < xn = b,    x1 = xo + h, x2 = x1 + h,..., xn = xn-1 + h.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1