2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 107

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

2

1 Ейлер, Леонард (17o7 - 1783), - великий вчений (швейцарець за походженням). Більша частина його життя пройшла в Росії, помер в Санкт-Петербурзі. Ейлеру належить дуже багато видатних результатів з математично­го аналізу, геометрії, небесної механіки, кораблебудування та інших галузей науки.

Замінимо далі похідну шуканої функції

y'(x ) = lim y(x +      y(x)

різницевим відношенням

y>(x)a y(x + h)- y(x) ,

h

а диференціальне рівняння (1) - так званим різницевим рівнянням

y(x +     y(x) = f (x, y(x)). h

Звідси маємо

y(x + h) = y(x) + hf (x, y(x)). ( 5 )

На підставі (5) ми послідовно отримуємо

y(x1) = y(xo + h) = y(xo ) + hf (xo, y(xo )), y(x1 ) = yo + hf (xo, yo l ( 6.1 )

y(x2 )= y(x1 )+ hf        y(x1 )) ( 6.2 )

y(x3 ) = y(x2 ) + hf (x2 , y(x2 )) ( 6.3 )

y(xn ) = y(b) = y(xn-1 )+ hf (xn-1, y(xn-1 )). ( 6.n )

З'єднуючи точки Mo (xo, yo ), M1 (xl, y(x1 ^ M 2 (x2, y(x2 Mn (xn , y(xn )) відріз-

ками ламаної лінії або ж якоюсь плавною лінією, ми дістаємо наближений гра­фік шуканого розв'язку задачі Коші.

Приклад 2. Знайти наближений розв'язок задачі Коші

y' = xy,    y(o) = 1

на відрізку [o, 1]. Тут

f (x y (x ))=xy (x),

y (xi+1 )= y (xi)+ hxiy (xi ) = y(xi)(1 + hxi ^ і = 1, 2,.- n .

Поділивши відрізок [o, 1] на 10 рівних частин довжини h = 0.1, дістанемо обчислювальну формулуу (хг+1 ) = у (хг )(1 + 0.1хг), і = 0,1,2,..., 10.

Подальші обчислення зведено в таблицю 1, де показано також точки на­ближеного графіка розв'язку задачі Коші. Зауважмо тільки, що в таблиці відсу­тня перша точка наближеного графіка, а саме точка M 0 (0.0;1.00).

Таблиця 1

і

хі

у(хі)

1 + 0.1-хг

у(хі+1)

Mi+1(хі+1; уі+1)

0

0.0

1.00

1.00

1.00

M1 (0.1; 1.00)

1

0.1

1.00

1.01

1.01

M 2 (0.2;1.01)

2

0.2

1.01

1.02

1.03

M 3 (0.3;1.03)

3

0.3

1.03

1.03

1.06

M 4 (0.4;1.06)

4

0.4

1.06

1.04

1.10

M 5 (0.5;1.10)

5

0.5

1.10

1.05

1.16

M 6 (0.6;1.16)

6

0.6

1.16

1.06

1.23

M 7 (0.7;1.23)

7

0.7

1.23

1.07

1.31

M 8 (0.8;1.31)

8

0.8

1.31

1.08

1.42

M 9 (0.9;1.42 )

9

0.9

1.42

1.09

1.55

M10 (1.0;1.55)

РЯДИ

9. ЧИСЛОВІ РЯДИ

9.1. ЗБІЖНІСТЬ І РОЗБІЖНІСТЬ ЧИСЛОВИХ РЯДІВ

Означення 1. Числовим рядом з членами u1,u2,u3,...,unназивається вираз (символ)

GO

У un = u1 + u2 + ... + un + Un+1 + Un+2 + ... + Un+k + ... = ( 1 )

n=1

= У u + £ u = S + У u

m=1 m=n+1 m =n+1

Означення 2. Вираз un називається загальним членом ряду (1). Приклад 1. Знайти загальний член ряду

111 1

- +-+-+-+... .

2 - 5   5 - 9   8 -13 11-17 Перші і другі співмножники в знаменниках утворюють арифметичні проґ-ресії з першими членами а1 = 2, b1 = 5, різницями d1 = 3, d2 = 4 та n-ми членами

an = a1 + d1 (n -1) = 2 + 3(n -1) = 3n -1, bn = b1 + d2 (n -1) = 5 + 4(n -1) = 4n +1. Отже, шуканий загальний член дорівнює

= J_ = 1 un = ~a~Jn "(3n - 1)(4n +1)

Означення 3. Сума перших n членів ряду (1), а саме

n

Sn um = u1 + u2 + ... + un , ( 2 )

m=1

називається його и-ою частковою сумою

Наприклад, перша, друга і третя частинні суми дорівнюють

Означення 4. Ряд

У um = un+1 + un+2 + ... + un+k + ... ( 3 )

m=n+1

називається залишком ряду (1) після n-го члена (або n-им залишком ряду).

Означення 5. Якщо існує скінченна границя n-ої часткової суми ряду (1) при n —> оо,

З lim Sn = S Фоо, ( 4 )

n — Go

то ряд називається збіжним. Число S називається в такому разі сумою ряду, і можна написати рівність

оо

£un = u1 + u2 +... + un +... = S ( 5 )

n=1

кажучи, що ряд збігається до (своєї суми) S. Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд

1 111 1

=-+-+-+ ... +--г + ....

П=ї (3n - 1)-(3n + 2)   2 - 5   5 - 8   8-11   "   (3n - 1)-(3n + 2)

Спочатку зауважимо, що

1 = 1/3      1/3   = 1 (   1 1

(3n - 1)(3n + 2)   3n -1   3n + 2   3 i43n -1   3n + 2

оскільки

1 A B

- +-, 1 = A(3n + 2) + B(3n -= (3A + 3B)n + (2A - B),

(3n - 1)(3n + 2)   3n -1   3n + 2'

f3A + 3B = 0,   Г A + B = 0, 1 1

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1