2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 108

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

\ \ A = -, B = --.

[ 2A-B = 1;    |2A-B = 1; 3 3

Даючи послідовно значення 1, 2, 3,... змінній n, ми подамо n часткову суму

ряду наступним чином:

S      1       1       1        1 1

2 - 5   5 - 8   8-11   11-13    "   (3n - 1)(3n + 2) 1 (1    1^   1Г1   1^   1 f1    1^        1 f   1 1   ^   1 f   1 1

3 ^2   5 J   3 1.5   8J   3 1.8   11J        3 ^3n - 4   3n -1J   3 ^3n -1   3n + 2

1 f 111111            1         1         1         1   ^   1 f 1 1 ---+---+---+ ...+---+---| = -|---

31 2   5   5   8   8   11    "   3n - 4   3n -1   3n -1   3n + 2 J   31 2   3n + 2

Отже,

1 f 1    1 ї 1,. /1    1 Ї 1 f 1       1 Ї 1 f 1 ^ 1

lim S = lim-1--- | = - lim|---— | = -| --lim—^— | = -| --0 | = - * оо

n—° n        3 .2   3n + 2 J   3 n—o.2   3n + 2 J   3 .2   n—o 3n + 2 J   3 .2    J 6

За означенням збіжності даний ряд збігається до суми (має суму) S = 1/6. Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд

^ 14

П=149п2 - 70n - 24

По аналогії з попереднім прикладом ми подамо загальний член ряду як різницю двох дробів,

14 14 A    +   B   =    1 1

49n2 -70n-24   (7n + 2)(7n -12)   7n-12   7n + 2   7n-12   7n + 2' а потім (послідовно покладаючи n = 1, 2, 3,...) дістаємо n часткову суму і су­му ряду

S =11+1 1+ n =   5   9   2   16   9   23   16   30   ...   7n - 33   7n -19   7n - 26   7n -12

1 1 1 1    =111 1 .

7n -19   7n - 5   7n -12   7n + 2 =   5   2   7n - 5   7n + 2;

S = lim S„ = limf-1 + -      '___—] = I -1 = .

n—G      n—o.  5   2   7n - 5   7n + 2 J   2   5 10

Даний ряд збігається і має суму S = 0.3 (збігається до 0.3). Приклад 4. Доведіть самостійно, що ряд

У_6_

П=19п 2 + 12n - 5

збігається і має суму S = 0.7.

Приклад 5. Знайти суму ряду

уУ     3n + 8

^=1 n(n + 1)(n + 2)'

Відповідь.

3n + 8     4   5     1 5      1     5 1

--+-; Sn = 4 — + 2 +---+-; S = 3.5.

—.--\ ----1--1 °n ~ ^---r z. і-----1--

z(n + 1)(n + 2)   n   n +1   n + 2 2       n +1   n +1   n + 2

Приклад 6. Геометрична прогресія

a + aq + aq2 +... + aqn 1 +... ( 6 )

з знаменником q збігається у випадку Iql < 1 і має суму

S = -a-

1-q

тобто

У aqn-1 = a + aq + aq2 +... + aqn-1 +... =-, Iql < 1. ( 7 )

n=1 1 - q

Дійсно, n часткова сума проґресії дорівнює

о                  2           n-1   a(1- qn)     a an Sn = a + aq + aq +... + aq    = ^f—L =----q

1-q      1-q   1-q

і має при n оо границю

S = a/(1- q),

бо при \q\ < 1

lim qn = 0.

n — со

Приклад 7. Дослідити на збіжність ряд

користуючись означенням збіжності ряду.

Поділивши почленно, ми запишемо n часткову суму ряду у вигляді

k=1        Ju k=1

. 15 J    . 10 J    V 6

Ми отримали три геометричні проґресії з першими членами

і знаменниками

сіл       , at-) , 1    15   2   10   3 6

—, q2 =—, q3 =-

15        10 6

Отже, n часткова сума ряду дорівнює

k

1

1

1

1

1

1

q1 =

S = 115 -(V15)n -110 -(V10)n + 16 -(V6)n n       1 -115 1 -110 1 -16 ,

а сума ряду

S = limS = —'---'--+ ^-=---+ - =-« 0.16.

n—с       1 -115   1 -110   1 -16   14   9   5 630

Означення 6. Якщо

lim Sn = ос

n—go

або ж границя

lim Sn

n — go

взагалі не існує, ряд (1) називається розбіжним. Можна також сказати, що ряд розбігається.

Приклад 8. Арифметична проґресія

1 + 2 + 3 + 4 +... + n +... розбігається, бо її n часткова сума дорівнює

„   ~ n(n +1)

Sn = 1 + 2 + 3 + 4 +... + n = -±-'-

n 2

і має нескінченну границю при n с .

Приклад 9. Геометрична проґресія (6) розбігається при \q\ > 1 і a * 0. ■ a) Якщо

|q| > 1,

то

|qn| — от

при n с, і границя n-ої часткової суми при q > 0 є нескінченною, а при q < 0 не існує.

б) Якщо

q = 1,

проґресія набуває вигляду

a + a + a +... + a ає n часткову суму

з границею, рівною + от при a > 0 і -от при a < 0. в) Якщо, нарешті,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1