2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 109

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

q = -1,

проґресія має вигляд

a + (- a) + a + (- a) + a + (- a) + a + (- a) +... = a - a + a - a + a - a + a - a + її n часткова сума дорівнює 0 для n парних і a для n непарних. Тому границя

lim Sn

n—от

не існує.

Таким чином, у всіх трьох випадках а), б), в) проґресія розбігається.^ Приклад 10. Гармонічний ряд

1        1    1    1 1

n=1 np        2p   3p   4p np

збігається при p > 1 і розбігається при p < 1. Ми доведемо цей факт пізніше. Наприклад, гармонічні ряди

1 + J_+J_+J_+ +J_+    1+_L+_L+_1_+ +_L+

22   32   42   "'   n2   '"'       2-V2   3л/3   4л/4   "'   n4n "' збігаються (p = 2 > 1, p = 3/2 > 1 відповідно), а ряди (також гармонічні)

1 1  1      1 1    1    1 1

1 + + - + + ...+ + ...,   1 + —= + —= + —= + ... + —= + ...

2 3   4        n 4n

розбігаються (відповідно p = 1, p = 13 < 1).

Теорема 1. Необхідна (але не достатня!) умова збіжності ряду (1) така:

lim un = 0. ( 9 )

n—от

Теорема 1 означає, що якщо ряд (1) збігається, то границя його загального члена un при n от повинна бути рівною нулю.

■Нехай ряд (1) збігається до S * от. Це означає, що

З lim Sn = S,   З lim Sn-1 = S.

n — от n —от

Але

і тому

lim un = lim(Sn -Sn-1) = lim Sn - lim Sn-1 = S-S = 0^

n — ОТ n —ОТ n —ОТ n — OT

Приклад 8. Ряди

n==f4n+7   ;=f3n+2

розбігаються, оскільки для першого з них

,. ,. 3n - 2 f—Л ,. n(3 - 2/n) 3 - 21 n 3 - 0 3 n limun = lim-= | | = lim—)-= lim--— =-= * 0,

п—от      п—от 4n + 7   .—J   п—от n(4 + 7/ n)   п—от 4 + 7 n   4 + 0 4

а для другого

lim un = limЄ= | | =

n—OT n—— 3n + 2     V 

є* (єх) єх

lim-= lim^—-—T = lim= +—

x+ot 3x + 2   x+ot (3* + 2)    x+ot 3

= + ,

і необхідна умова збіжності для обох рядів не виконується.

Приклад 11. Необхідна умова збіжності виконується для двох наступних

рядів

У  1     УУ n

n=2 n ln2 n       n=1 n 2+1'

але тільки на підставі цього ми не можемо нічого сказати про їх збіжність чи розбіжність. Нижче ми доведемо, що перший ряд збігається, а другий - розбіга­ється.

Теорема 2. Якщо ряд (1) збігається, то для будь-якого n збігається його залишок після n-го члена (n залишок) (3). Якщо, далі, залишок (3) ряду (1) збігається при деякому n, то збігається і сам ряд (1).

■Доведімо першу частину теореми. Нехай ряд (1) збігається до S, і позна­чмо ак k частинну суму залишку (3),

°к = un+1 +un+2 + ... +un+k .

Очевидно, що

ak = Sn+k - Sn

а отже існує границя

lim ak = lim(Sn+k - Sn )= lim Sn+k - Sn = S - Sn * .

k—от k—от k—от

Це значить, що залишок (3) збіжного ряду (1) збігається для будь-якого n.^

Сенс теореми 2 полягає в наступному: факт збіжності чи розбіжності ряду не змінюється, якщо додати до нього чи відкинути в ньому скінченну кількість членів.

Наслідок 1. Позначмо Rn суму n-го залишку збіжного ряду. На підставі доведення теореми 2 отримуємо

Rn = limcik = S - Sn,

k—от

і тому

S = Sn+Rn. ( 10 )

Формула (10) подає суму S збіжного ряду сумою його n-ої часткової суми Sn і суми Rn відповідного n-го залишку.

Наслідок 2. Сума Rn n-го залишку збіжного ряду прямує до нуля при

n — —,

lim Rn = 0 ( 11 )

n—OT

■З формули (10) випливає, що

lim Rn = lim(S - Sn ) = S - lim Sn = S - S = 0.^

n—OT n—OT n—OT

Наслідок 3. Для великих n сума S збіжного ряду наближено дорівнює

S * Sn ( 12 )

з абсолютной похибкою

« = S - SJ = Rn|. ( 13 )

Останню можна зробити як завгодно малою для достатньо великих значень n.

На практиці часто-густо нема необхідності досліджувати ряди на збіж­ність тільки за допомоги означень 5, 6, тобто відшуканням границі n-ої частко­вої суми . Достатньо встановити факт його збіжності чи розбіжності з інших мі­ркувань і в разі збіжності знайти наближене значення його суми.

Існує багато ознак збіжності або розбіжності рядів. Розпочнімо з форму­лювання наступної теореми.

Теорема 3 (необхідна і достатня ознака Коші[1] збіжності числового ряду). Числовий ряд (1) збігається тоді і тільки тоді, якщо для довільного додатного як завгодно малого числа є існує (натуральне) число N таке, що для будь-якого більшого натурального числа n и для довільного натурального m виконується нерівність

|Sn+m - Sn| < Є .

Символічно

є > 0,3N є X, Vn є X, Vm єК: {n > N => |Sn+m - Sn\< є}). ( 14 )

Буквою X позначена множина всіх натуральних чисел.

Теорема 4 (почленні лінійні операції над числовими рядами). Нехай дано два числових ряди з сумами S і T відповідно,

от от

u1 + u2 + u3 +... + un +... = У un = S,   v1 + v2 + v3 +... + vn +... = У vn = T .

12 3 n /  j    n '12 3 n /  j n

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1