2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 110

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

n=1 n=1

В такому випадку для будь-якого числа k

от от

ku1 + ku2 +... + kun +... = У (kun) = k У un = k (u1 + u2 +... + un +...) = kS (15)

n=1 n=1

(винесення сталого множника k з збіжного ряду),

от от от

(u1 ± v1 )+(u2 ± v2 )+ ...+ (un ± vn )+ ... (un ± vn ) = У un ±У vn =

n=1 n=1 n=1

= (u1 + u2+... + un + ...)++v2+... + vn +...) = S ± T ( 16 )

(почленне додавання чи віднімання двох збіжних рядів), і для будь-яких чисел k

і l

ОТ от от

(ku1 +lv1 )+(ku2 +lv2 )+ ... +(kun+lvn )+ ... (kun+lvn ) = k У un+[2] У vn т

= (ku1 +ku2 + ... + kun + ...) +(lv1 +lv2 + ... + lvn + ...) = kУ un +lУ vn = kS + lT ( 17 )

n=1 n=1

(почленна лінійна комбінація двох збіжних рядів, наслідок формул (15), (16)).

■Справедливість формули (15) випливає з рівності, що пов'язує n-і час-кові суми an, Sn рядів

тт n =1 n =1

а саме,

<Jn = ku1 + ku2 + ku3 +... + kun = k (u1 + u2 + u3 +... + un) = kSn. Отже, для сум a, S рядів дістаємо

тт

a = У^и, )= lim an = lim kSn = k lim Sn = k У un = kS .■

/  і \     n / n n n /  і n

n—OT n—OT n—OT

n=1 n=1

Формули (16), (17) доведіть самостійно. Приклад 12. Суму ряду

УУ 2n - 3n + 5n

У 30n

(див. Приклад 7) можна дуже просто обчислити за теоремою 4 і формулою (7). Дійсно,

У 30n  =У[VtsJ ~V 10jJ +.6J    V15J 1V10J +У.6

115       110       16      1    1   1    101 плг

-   ' -----+ —--=---+ - =-* 0.16.

1 -115   1 -110   1 -16   14   9   5 630

9.2. ДОСТАТНІ ОЗНАКИ ЗБІЖНОСТІ ЧИСЛОВИХ РЯДІВ З ДОДАТНИМИ ЧЛЕНАМИ

Теорема 3 (необхідна і достатня ознака Коші збіжності числового ряду) має велике теоретичне значення, але практичне її застосування часто-густо є занадто складним. Звичайно ми матимемо справу з деякими більш простими до-

Числові ряди 387 статніми (але не необхідними) ознаками збіжності. Зупинимось спочатку на чи­слових рядах з додатними членами.

Нехай дано числовий ряд з додатними членами

GO

Е un = u1 + u2 +... + un +Vn : un > 0. ( 18 )

n=1

Його часткові суми утворюють зростаючу послідовність

S < ^2 < S3 .. < Sn < ( 19 )

і на підставі відповідної теореми про збіжність числової послідовності (див. властивість 6 з п. 1.1.3 А) ми дістаємо наступну теорему.

Теорема 5. Для збіжності ряду з додатними членами достатньо, щоб по­слідовність його часткових сум була обмеженою зверху.

Іншими словами, якщо існує таке число C, що для всіх натуральних n ви­конується нерівність

Sn < C, ( 20 )

то ряд (18) збігається.

Нехай є два ряди з додатними членами, а саме ряд (18) і ряд

G

Е Vn = V1 + V2 + ... + Vn +       Vn : Vn > 0. ( 21 )

n=1

Теорема 6 (перша ознака порівняння для рядів з додатними членами). Нехай (принаймні для достатньо великих значень n)

un < vn (зокрема un < vn). ( 22 )

1) Якщо ряд (21) збігається, то ряд (18) також збігається.

2) Якщо ряд (18) розбігається, то ряд (21) також розбігається. ■Нехай, наприклад, ряд (21) збігається до якогось числа T, тобто існує

границя його n-ої часткової суми ап,

lim On = lim(v1 + v2 +... + vn)= T.

n—GO n—GO

Очевидно,

На підставі нерівності (22) (яку можна припустити справедливою для будь-яко­го n) ми для n-ої часткової суми Sn ряду (18) маємо

Отже, послідовність часткових сум ряду (18) є обмеженою зверху числом T, і за теоремою 5 ряд збігається.^

За допомогою теорії границь ми можемо довести наступну теорему.

Теорема 7 (друга ознака порівняння для рядів з додатними членами). Нехай існує границя відношення загальних членів рядів (18) і (21),

Якщо к - додатне число (к Ф 0, к Фею), то обидва ряди (18), (21) разом збі­гаються або ж розбігаються.

Зауваження 1. Для граничних випадків к = 0 і к = ес ми можемо стверд­жувати наступне.

Якщо к = 0 , то ряд (18) збігається у випадку збіжності ряду (21), а ряд (21) розбігається у випадку розбіжності ряду (18).

Якщо к = ю, то ряд (18) розбігається у випадку розбіжності ряду (21), а ряд (21) збігається у випадку збіжності ряду (18).

Для застосування ознак порівняння ми повинні мати деякі стандартні ря­ди, збіжність або розбіжність яких нам відома. Часто-густо ми використовуємо різні випадки геометричної проґресії (6) і гармонічного ряду (8).

Приклад 13. Дослідити на збіжність ряд

u1 + u2 +... + un < u1 + u2 +... + un = on < T, Sn < T

lim ^ = к

( 23 )

1 1

+-

2 2 • 2

2

+

3 • 2

1

3

+....

Знайшовши загальний член ряду, ми можемо записати його у вигляді

1 1 1

Г + —2 + —3

+... +

n 2n

1

+....

Тепер ми порівняємо ряд з збіжним рядом

111 1

- + + +... + +... 2   22   23 2 (геометричною прогресією (6) з знаменником q = 1/2, 0 < q < 1). Порівняння дає

1 1

n 2n 2n

для будь-якого n > 1. На підставі теореми 6 (випадок 1) даний ряд збігається.

Зауваження. Даний ряд можна також порівняти з розбіжним гармонічним

рядом

і   1   1 1 2   3 n

Саме, для будь-якого натурального n маємо

1 1 n

Але цей результат ні про що не свідчить: в теоремі 6 йдеться тільки про ряди, члени яких не перевищують відповідних членів певного збіжного ряду, або про ряди з членами, не меншими відповідних членів якогось розбіжного ряду. Як­що ж члени одного ряду не перевищують (або просто є меншими) відповідних членів розбіжного ряду, то про перший ряд нічого певного сказати не можна. Приклад 14. Дослідити на збіжність ряд

lnn    ln2   ln3   ln4        lnn

n=2 n      2      3      4 n

Помічаючи, що ln2 > 1, ln3 > 1, ln3 > 1,lnn > 1,... ми порівняємо даний ряд з розбіжним рядом

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1