2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 111

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

^ 1111 1

> = 1 + - + - + - + ... + + ... n=1 n       2   3   4 n

(гармонічним рядом (7) з p = 1). Порівняння дає

lnn 1

->

nn

для n > 2. На підставі теореми 6 (випадок 2) даний ряд розбігається. Приклад 15. Щоб дослідити на збіжність ряд

00 і

у 1 ,

n=1 л/2п 3 - 4n2 +3n + 7 'ми візьмемо для порівняння збіжний ряд

со       1 со 1

У ~ТТ = У

n=1 V n        n=1 2

n2

(гармонічний ряд (7) з p = 3/2 > 1) і скористуємось другою ознакою порівняння (теорема 7). Границя відношення загальних членів цих двох рядів дорівнює

lim

n—со

1 : 1

л/2п3 - 4n2 + 3n + 7

lim—;—,     n = lim 1 1

437   nю і   4   3   7 42

^ n2 J        n2  2 -- + ^ + ^-        , 2 -- + ^ + ^-

\     n   n    n \     n   n n

тобто є додатним числом, а тому даний ряд збігається одночасно з збіжним гар­монічним рядом.

Теорема 8 (ознака Даламбера[3]). Якщо для ряду (18) (з додатними члена­ми) існує границя

lim ^n±[4] = l, ( 24 )

то ряд збігається при l < 1 і розбігається при l > 1. У випадку l = 1 про поведін­ку ряду нічого певного сказати не можна (він може як збігатись, так і розбіга­тись).

■ 1. Нехай спочатку

lim^ = l < 1.

Згідно з теорією границь для будь-якого є > 0 існує натуральне число N таке, що для довільного натурального n > N виконуються такі нерівності:

< є, - є < Un±L -1 < є, l - є < Un+- < l + є, (l - є)ип < un+1 <(l + є)ип

Припустимо, що число є настільки мале, що l + є < 1. Покладаючи послідовно

n = N, N +1, N + 2,...

в нерівності

Un+1 <(l+ є)un тримаємо

UN+1 <(l+ Є)UN , UN+2 <(l + Є)UN+1 <(l + UN UN+3 <(l + Є)UN+2 <(l + UN

Ми бачимо, що для довільного n > N +1 члени даного ряду менше відповідних членів збіжної геометричної прогресії з знаменником q = l + є < 1. За теоремою 6 (випадо 1) даний ряд збігається. 2. Нехай тепер

lim Un+1 = l > 1. В такому випадку для достатньо великих n матимемо

U

> 1    > Un < Un+1 < Un+2 < Un+3 < Un

звідки видно, що для даного ряду не виконується необхідна умова збіжності (див. теорему 1). Отже, ряд розбігається.^

Приклад 16. Дослідити на збіжність ряд

со 2

n

У-

n

n=1 2

Тут

n2

(n + 1)2

,•   Un+1    ,.     2n+1      ,.   2n (n +1)2

n 1 + -

n 2|1 + 1 n ,

2    -xxxxx     +1 2   -lim—--= lim- 2

= i.^ +1Ї =1 < 1.

2 n-4    n J За ознакою Даламбера ряд збігається. Приклад 17. Така ж сама задача для ряду

1 4 7   4 7-10

+-+-+... .

2 2 6   2 6-10

Загальний член Un і наступний член Un 1 ряду дорівнюють

= 4 7-10... -(4 + 3•(n -1))= 4 7•Ю... ^3n +1) Un = 2 6 •Ю ... ф + 4 •(n -1)) = 2 6 •Ю ... ^4n - 2),

4 7•Ю... ^3n + 1)^(3(n +1)+1)    4 7•Ю... ^3n + 1^(3n + 4)

Un 1

2• 6•Ю•... ^4n - 2)^(4(n +1)-2)   2• 6•Ю•... ^4n -2^(4n + 2)'

Отже,

Un+1

lim

n—1 U = lim

n—ад

4• 7•Ю•...^(3n + 1)^(3n + 4) : 4• 7•Ю•...^(3n +1)~ 2• 6•Ю•...^4n-2>(4n + 2) 2• 6•Ю•...^4n-2)

lim

4• 7•Ю•... ^3n + 1^(3n + 4)• 2• 6•Ю•... ^4n -2)

lim

3n 4

lim

3n 3

11111--.-г—-.-г--.-г 11111- 11111-

n—12 6•Ю... \4n -2>(4n + 2^4 7•Ю... ^(3n +1)   n—14n + 2   n—14n 4 Ряд збігається за ознакою Даламбера. Приклад 18. Дослідити на збіжність ряд

^,(2n + 1)V3n -1

<1.

(3n )

lim

Un 1

lim

n—1 U

(2n + 3)V3n + 2 : (2n + 1)V3n -1 (3n + 3)      :        (3n)!

(2n +1) (2n + 2)(2n + 3)(3n)

lim

n—ад

(2n + 3)(3n )V3n + 2

l-mm (3n) (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)(2n +1)!

(3n + 3)!(2n + 1)V3n -1 3n + 2 =

lim3

V 3n -1

lim (2n + 2)(2n + 3) lim3 n—1 (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) n—013 2

n| 3 + — n

n| 3 -1 n

= lim-

n—ад

2 Y

 

3 1

-11

2 +

-1

n )\

 

n

3 +

21

3+

 

n A

 

lim3

3+2

n

3 -1 n,2 + 2 If 2 + 3

lim — lim-;v w /v w yr-4 = 0--= 0< 1.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1