2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 112

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

n—i n n—1f„ . 1Y„ . 2Y„ . 3 ^ 27

V    n X    n X n) Ряд збігається.

Приклад 19. Ознака Даламбера незастосовна до ряді Прикладу 11, тобто до рядів

1n

'n ln2

n=2 n ln2 n   n=1 n2 +1

■Для другого ряду

U

lim—— = lim

n +1

(n +1)2 + Г n2 + 1 (n + 1)(n2 + 1)

n )V n

= lim [5]J 2 ™      \ = lim f

n n2 =1.

Для першого ряду

U

lim —— = lim

n—i  U n—ад

f

(n + 1)ln2(n +1) nln2 nJ   n—i(n +1)ln2(n + 1)

lim

nln2 n

lim  n  lim!

n—i n + 1 n—ад

f

ln n

ln(n + 1)

= lim-

n—ад

n| 1 +lim

1 1 n—ад

ln n

ln nf 1 +[6]

V   V njj

= lim[7] lim

n—ад 1 n—ад

1 + —

n

ln n

ln n + ln| 1 + [8]

V

= lim

n—ад

lnn

f

ln n

1

1 + ln | 1 + — I /ln n V      V n.

= lim

n—ад

1

1 + lnf 1 +[9] I /ln n

Приклад 20. Довести, що для довільного додатного числа a

lim— = 0.

1

2

2

n

2

■Введімо числовий ряд з загальним членом an/n!, тобто

со n

х— a

23 aa

> = a + + +... + +....

=1 n!      2!   3! n!

n=1

Він збігається за ознакою Даламбера (перевірте!). Отже, на підставі необхідної умови збіжності границя загального члена ряду при n і дорівнює нулю.^

Теорема 9 (радикальна ознака Коші). Якщо для ряду (18) (з додатними членами) існує границя

lim n^U~n = l, ( 24 )

n—ад

то при l <1 ряд збігається, а при l > 1 розбігається. Випадок l = 1 , аналогічно ознаці Даламбера, є сумнівним.

Приклад 21. Довести збіжність ряду

if! +[10]

n

Загальний член ряду

Un = 1 +

lim nJUi~n = lim і

Ряд збігається за радикальною ознакою Коші. Корисно зауважити, що

lim n4n = 1.

■За допомогою правила Лопіталя lim nJn = lim nn = lim e

1, ,.   ln n

ln n lim-

t

,. ln x ,. (ln x) lim-= lim-

lim

1

x—i   X       x—i     X x—i x

( 25 )

= I

Доведіть самостійно, що для довільного натурального m

lim nfn++m = 1.

( 26 )

n

a

2

-n

-n

і

Приклад 22. Ряд

со лП

У -

n=1 n

розбігається, оскільки на підставі формули (25)

lim nJU~n = limn = lim —j= = 2--j= = 2 4 = 2 > 1.

n—ад

Теорема 10 (інтегральна ознака Коші). Замінивши n на x в загальному члені Un ряду (18) (з додатними членами), отримаємо функцію f (x) = Ux. Якщо ця функція є додатною, неперервною і незростаючою на інтервалі [1, і), то ряд (18) і невласний інтеграл

j f (x )dx ( 27 )

разом або збігаються, або розбігаються.

■Нехай k -1 < x < k; на підставі незростання функції f (x) = Ux послідов­но мають

*k < f (x)< uk-l,

f (k) < f (x) < f (k -1),   Uk < f (x) < Uk-1,   j Ukdx < j f (x)dx < j Uk-ldx,

k-1 k-1 k-1

k

Uk <j f (x)dx < Uk-1. ( 28 )

k

k-1

Покладаючи тепер k = 2, 3,n в нерівності (28) і почленно додаючи всі отри­мані нерівності, мають

U2 + U3 +... + Un < j f (x)dx < U1 + U2 +... + Un-1, 1

або ж

n

Sn - U1 <j f(x)dx < Sn-1. ( 29 )

1

1. Якщо інтеграл (27) збігається, то

I f (x)dx = lim I f (x)dx = I

J n—>со j

Внаслідок додатності функції f (x) інтеґрал

n

j f (x )dx

1

зростає розом з n, а тому

n

j f (x )dx < I,

і на підставі (29) отримаємо

n

Sn < | f (x)dx + u1 < I + мі.

Таким чином, послідовність часткових сум ряду (18) обмежена зверху, і ряд збігається на підставі теореми 5.

2. Якщо тепер збігається ряд (18), то на підставі тієї ж нерівності (29) не­важко довести збіжність інтеґрала (27) (завершіть доведення самостійно).»

Приклад 23. Дослідити на збіжність гармонічний ряд (8).

Загальний член ряду

1

і відповідна функція f (x) суть

Відомо, що невласний інтеґрал

un =

n p

со со

| f (x )dx = j dx

збігається при p > 1 і розбігається при p < 1. Отже, гармонічний ряд (8) збіга­ється при p > 1 і розбігається при p < 1.

Приклад 24. За допомоги інтеґральної ознаки Коші дослідити на збіж­ність ряди прикладу 11, тобто

1

x

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1