2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 113

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

p

a) І

n-

a) Для першого ряду і відповідна функція

n=2 n ln2 n

n

1 n2 + 1

n і 2

n ln ,

f (x ) =

x ln2

є додатною, неперервною і незростаючою на інтервалі [2, со). Невласний інте-

ґрал

dx

[■f (x)dx j xm

ln x = y. dx

— = dy, x

x

2

со

y

ln2

со

ы2

ln2

1

ln2

збігається, а тому збігається і ряд a).

b) Другий ряд розбігається, оскільки

n2

n +1 f (x ) =

x2 + Г

і невласний інтеґрал

сс

j f (x )dx = j

xdx 1 сг 2 xdx 1 x2 +1 = 2j x2 +1 2

= с

розбігається.

Приклад 25. Застосувати інтеґральну ознаку Коші до ряду

с

n=1 n2 + 6n +18 Відповідний невласний інтеґрал

dx

x + 6 x +18

1

(x2 + 6x +18) = t, x + 3 = t,

, n t

x = t - 3, dx = dt, x + 6x +18 = t + 9

x

1

 

t

4

 

dt

t2 + 9

1 t

= — arctan-3 3

1               t           4)   1 (n 4' = -1 lim arctan arctan I = — I--arctan I < с

31 t-I 3 3 J   31 2 3

1

1

1

x

x)

x)

1

y

2

x

n

x

00

x)

4

збігається, і тому за інтегральною ознакою Коші даний ряд також збігається.

9.3. ЧИСЛОВІ РЯДИ З ДОВІЛЬНИМИ ДІЙСНИМИ ЧЛЕНАМИ АБСОЛЮТНА І УМОВНА ЗБІЖНОСТІ

В п. 9.2 ми розглядали числові ряди з додатними членами. Перейдемо те­пер до рядів, члени яких - довільні дісні числа, як додатні, так і від"ємні. На підставі теореми 2 ми можемо вважати, що множини і тих, і інших нескінченні. Дійсно, якби ряд містив, наприклад, скінченну кількість від"ємних членів, ми могли б просто викинути їх, оскільки цу не змінило б факту збіжності або роз­біжності ряду.

Як перший приклад рядів з довільними дійсними членами ми розглянемо так звані знакозмінні (інші назви - альтернуючі, знакопереміжні, знакопочере-жні) ряди.

9.3.1. Знакозмінний ряд Означення 7. Знакозмінним рядом називається ряд такої форми:

оо

-1)" un = u1 -u2 + u3 -u4 +... , ( 30 )

n=1

де всі числа un один і той же знак (Vn : (un > 0или un < 0)). Іншими словами, знакозмінний ряд - це ряд, знаки членів якого по черзі змінюються.

Теорема 11 (ознака Лейбніца[11]). Нехай в знакозмінному ряді (30):

a) виконується необхідна умова збіжності, яка тут має форму

lim un = 0; ( 31 )

n—»со

b) члени ряду не зростають за абсолютною величиною;

в такому випадку ряд збігається, а для його суми S виконується нерівність

\S\ < ( 32 )

■Нехай, для визначеності, всі числа un додатні.

1. Спочатку ми розглянемо часткові суми ряду (30) з парною кількістю членів. Запишемо 2т часткову суму S2m в двох формах, а саме:а) S2 т =(u1 - u2 )+(u3 - u4 )+(u5 - u6 )+ ... + (u2m-1 - u2m );

б) S2 т = u1 -(u2 - u3 )-(u4 - u5 )-... - (u2m-2 - u2m-1 )-u2m .

Перша форма свідчить, що часткова сума S2m невід"ємна і зростає з зростанням m, а друга форма - що вона обмежена зверху числом u1 (S2m < u1) . Отже, існує скінченна границя S суми S2m при m cc,

lim S 2m = S.

m—co

2. Для завершення доведення ми повинні показати, що часткові суми ря­ду (30) з непарною кількістю членів прямують до тієї ж самої границі S. Але на підставі умови (31)

limS2m , = lim(S2m + и.m)= limS2m + limu2m = S + 0 = S.

2m-1 v   2m 2m / 2m 2m

m—оо m—co m—co m—co

Таким чином, ми довели, що

lim Sn = S

' n '

n—co

для будь-якого n, як парного, так і непарного, а тому ряд (30) збігається.

У випадку додатності всіх un ми отримуємо нерівність 0 < S < u1. В зага­льному випадку ми дістаємо потрібну нерівність (32).^

Приклад 26. Знакозмінний ряд

£(- 1)n-1 1=1 - 2+3 - 4+...+(- г1+...

n=1 n        2   3   4 n

задовольняє обидві умови ознаки Лейбница:

а) 1 >

1

1

1

--

> - >

--

2

3

4

111     b)   1 0

>      > — >-> — >... ; b) lim — = 0.

2   3   4 n—co n

Отже, ряд збігається, і для його суми S виконується нерівність

< 1.

Зауважимо, що в нашому прикладі un = 1/n > 0 для всіх n = 1,2,3,..., n,..., а тому останню нерівність можна замінити простішою, саме 0 < S < 1. Приклад 27. Знайти наближене значення суми S рядуу (- 1)n = 1 - J_+_J___L_+_J_

n=0

Ряд є знакозмінним, він задовольняє обидва умови ознаки Лейбніца і то­му збігається. На підставі формул (12), (13) ми маємо

S * Sn

з абсолютной похибкою

а = \S - SJ = RJ. 1. Нехай спочатку n = 3. Тоді

R = -4Г7+4м-...

є сумою знакозмінного ряду, і за нерівністю (32)

0.002232142857... < 0.0023.

43 • 7

Далі

S3 = 1 —— + ^— * 1.0000 - 0.0833 + 0.0125 = 0.9292; 0.9292 - 0.0023 < S < 0.9292 + 0.0023,   0.9268 < S < 0.9315,

і

S * 0.9,

де всі цифри точні, або

S * 0.93

з точністю до 0.01.

2. Нехай тепер n = 4. В цьому випадку

R4 =^---Л" +RJ = 0.000434,

S4 = 1 І    2 3 =

4       4 3   425   437 = 1 - 0.083333 + 0.012500 - 0.002232 = 0.926935, 0.926935- 0.000434 < S < 0.926935 + 0.000434,

0.926501 < S < 0.927369,

S « 0.92

зо всіма точними цифрами або ж

S « 0.927

с точністю до 0.001.

3. Нехай, нарешті, n = 5. Таким же чином ми знаходимо

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1