2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 114

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

R5 = —-1+ 1--\R5\< —-1— « 0.000089< 0.0001;

S5 = 1 —— + -1---31— +        « 1.0000 - 0.0833 + 0.0125 - 0.0022 +

+ 0.0004 « 0.9274, 0.9274 - 0.0001 < S < 0.9274 + 0.0001, 0.9273 < S < 0.9275, S « 0.927,

і всі цифри точні.

Приклад 28. Знакозмінний ряд

1 1   "|=    1 1    +    1 1    +   +    1 1 +

П=2I -1 4n +1) 42-1 42+1 43-1 43+1 "' 4n -1 4n +1

сводиться до гармонічного з p = 1 і тому розбігається. Дійсно,

1 1    =(4n + 1)-(4n -1)= 2

4n -1   4n +1    [4n - 1)л/П" +1)    n -1

-j=---1= l=2V-= 2І 1 +... + - +.

=2 W n -1  vn +1)   n=2 n -1    ^   2  3 n

Для даного ряду необхідна умова збіжності (32) виконується, але друга умова ознаки Лейбніца порушується. Дійсно, для будь-якого n

<  ,     — (перевірте!).

4n +1   Vn +1 -1 9.3.2. Абсолютно і умовно збіжні ряди

Нехай дано ряд з довільними дійсними членами

= u1 + u2 + u3 +... + un +.... ( 33 )

n=1

Введімо ряд з абсолютних величин його членів, тобто ряд

co

Е |un| = |uj + |u2| + |u3| +... + |un| + ... ( 34 )

n = 1

Теорема 12. Якщо ряд (34) з абсолютних величин членів ряду (33) збіга­ється, то ряд (33) також збігається. ■Нехай

а = luJ + luJ + luj +... + |u І

n      |1|     |2|     I   31 |n|

-  -а частова сума ряду (34). На підставі його збіжності існує границя

а = lim an,

n—co

і

для будь-якого n. Подамо тепер n часткову суму Sn ряду (33) в такому вигля­ді:

де S+ - сума всіх додатних доданків ряду (33) в Sn, а S- - сума абсолютних ве­личин від"ємних доданків. Очевидно,

Sn<an <а,   S;<an <а ^S- <а, S+ <а. Це означає, що суми Sn,     обмежені зверху числом а і тому мають границі

S-, S + при n —^ оо,

S- = lim S-, S + = lim Sn+.

Отже, існує границя S n-ої часткової суми Sn ряду (33),

S = lim Sn = lim(Sn+ - S- ) = lim Sn+ - lim S- = S + - S- < о,

n\nn/ n n '

тобто ряд збігається. ■

Означення 8. Якщо ряд (34) з абсолютних величин членів ряду (33) збі­гається, то ряд (33) називається абсолютно збіжним (кажуть, що він абсолют­но збігається).

На підставі означення 8 ми можемо назвати теорему 12 теоремою про абсолютну збіжність ряду з довільними дійсними членами.

Наслідок. З доведення теореми 12 випливає, що в абсолютно збіжному ряді збігаються ряди з додатних і від"ємних членів (відповідно до S + і - S-).

Приклад 29. Ряд

«(- 1)n-1 1     1     1 (- 1)n-1

/ —2= 1   г+-г-—г+... +2— +...

абсолютно збігається, оскільки ряд з абсолютних величин його членів, тобто

ряд

1,111 1

n2        22   32   42 n2 є збіжним гармонічним рядом (8) з p = 2 > 1.

Означення 9. Якщо ряд (33) з довільними дійсними членами збігається, але ряд з абсолютних величин його членів розбігається, ряд (33) називається умовно збіжним (кажуть, що він умовно збігається).

Зауваження 2. На підставі доведення теореми 12 ми можемо зробити ви­сновок, що в умовно збіжному ряді обидва ряди - з додатних і від"ємних членів - розбігаються.

Приклад 30. Ряд

//(- 1)n-1 -=1 - 2+3 - 4+...+(- +...

n=1 n        2   3   4 n

(див. приклад 26) збігається умовно, оскільки ряд з абсолютних величин його членів, тобто ряд

n

К- 1f   1=1+1+1+1+..+1

n=1

      її---1---1---г...-і---

n    n=1 n       2   3   4 n розбігається, як гармонічний з p= 1 .

Для встановлення абсолютної збіжності ряду (33) з довільними дійсними членами ми можемо застосовувати всі ознаки з п. 9.2. Розглянемо кілька випад-ків.

9.3.3. Деякі ознаки абсолютної збіжності

1. Якщо існує збіжний ряд з додатними членами

a1 + a2 + a3 +... + an +Vn : an > 0, ( 35 )

такий, що

kl < an ( 36 )

(принаймні для достатньо великих n), то ряд (33) абсолютно збігається. Приклад 31. Ряд

^ sin nx sin 2x   sin3x   sin 4x        sin nx

/ —2= sin x + 2 + 2 + 2 +... + 2 + ...

n=1 n2 22     32     42 n2

абсолютно збігається для будь-яких значень x, бо ряд з абсолютних величин йо­го членів

^ Isin nx\   .      .   Isin2x   Isin3x|   Isin4x\        Isin nxl

/ J21 = sinx + J-2—1 + J2—1+ J-2—1 +... + J2—1 + ...

збігається для всіх x на підставі першої ознаки порівняння:

Isin nxl 1

22

nn

для всіх x і n > 1, а ряд з додатних членів

^ 1,111 1

n=1 n2     22 32 42 n2

збігається, як гармонічний з p= 2 > 1 .

Зауваження 3. Якщо для деякого розбіжного ряду з додатними членами b1 + b2 + b3 +... + bn +Vn : bn > 0,

виконується нерівність

|u| > b

nn

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1