2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 115

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

(принаймні для достатньо великих n), то ряд (33) не може збігатися абсолютно. Але це не означає розбіжності самого ряду: він може збігатися умовно. 2. Якщо для ряду (33) з дійсними членами існує границя

lim Ы = і, ( 37 )

n—c kl

то ряд абсолютно збігається при і < 1 і розбігається при і > 1.

■Границя (37) виражає достатню ознаку збіжності Даламбера для ряду (34) з абсолютных величин членів ряду (33). У випадку і > 1 розбігається не тілько ряд (34), але й ряд (33), оскільки для нього не виконується необхідна умова збіжності числового ряду. Див. теорему 8.^

Приклад 32. Нехай дано функціональний ряд

Y—

n

n=1 nx

тобто ряд, членами якого є функції. Треба дослідити, для яких значнь x він збі­гається.

Означення 9. Множина всіх значень x, для яких функціональний ряд збі­гається, називається областю його збіжності.

На підставі означення 8 ми повинні знайти область збіжності ряду при­кладу 32.

Загальний член ряду є функцією від x, яку ми позначимо un (x),

un (x) = .

n v  / n

nx

Для фіксованого значення x ознака Даламбера для ряду з абсолютних величин членів даного ряду дає

k+1(x)

lim^1^ = lim

1 1

nn

n\x\ n\x\ lim-—-- = lim-

■^7^ = lim -г:- = lim-—-г = lim—;--

(x)    n—°l(n +1)x\n+1  n|xf I   n—o(n +1)xf+1    n—o L +1

n|1 + - \\x \x\ n

n

lim-1т— = rrlim1 = у1. n) n

Ряд абсолютно збігається, якщо отримана границя менше 1, тобто якщо

-1 < 1 => Ы > 1 => x є (-co, -1)U(1, о); ряд розбігається, якщо

-1 > 1 => Ы < 1 => x є (-1,1). x

Залишається дослідити поведінку ряду в двох точках x = 1, x = -1. В точці x = 1 ряд набуває вигляду

^ 111 1

> = 1 + + - +... + +...

n=1 n      2 3 n

і розбігається, як гармонічний з p = 1. В точці x = -1 ряд має вигляд

/ ——— = -1 +---+--... = -І1--+----

n=1 n(- 1)n 2   3   4 ^    2   3 4

і збігається за ознакою Лейбніца (див. Приклад 26).

Таким чином, ряд збігається для x є (- о, -1]U (1, оо). Інакше кажучи, його областю збіжності є множина точок (-оо, - 1]U(1, оо), тобто об"єднання двох інтервалів (-оо, -1] і (1, оо).

Приклад 33. Доведіть самостійно, що областю збіжності функціонального

ряду

GO і

    1 n

є множина (- оо, - 3)U (-1,оо).

Приклад 34. Знайти область збіжності ряду

ад        n-1 2 3 n-1

Zx x     x      x x

n=1 n2 22   32   42 n2

Ров"язання. n-ий, (n + 1)-ий члени ряду та їх абсолютні величины відпові­дно дорівнюють

_ \л\       L.    (,Л _ _

(n +1)2|

xn-1 xn

un(x) = —, un+1(x) = (—:ч2, lun(x) n (n +1 )

n2

n2

Iun+1 (x )

n

|x|

(n +1)2'

На підставі ознаки Даламбера для ряду з абсолютних величин (для фіксованого

x)і  м (    \   \n i   |n-1 Л і   і n    2 і   in-1i   і 2

A-u ~ І    N     .11    \_ U- = lim- 1111

lim^1^ = lim

,        11111  —--г- .--   11111-:- 11111-:-

(x)    n—°l (n +1)2    n2 )   n- Ixf-1 (n +1)2   n° Ixf-1 n2(1 + 1/n)2

= \x\ lim -1-2 = Ixl -1 = \x\. 'n—°(1 +1 n )

Ряд абсолютно збігається, якщо |x| < 1, тобто якщо -1 < x < 1, x є (-1,1). Ряд розбігається, якщо |x| > 1, тобто x < -1 або x > 1, x є (- ад, -1)U (1, оо). Необхідно дослідити випадок |x| = 1,    x = ±1. Для x = -1 ми маємо ряд

який збігається за ознакою Лейбніца. Для x = 1 відповідний ряд

^ 1,111 1

n=1 n2       22   32   42        n2

збігається, як гармонічний з p= 2 > 1 .

Відповідь: областю збіжності ряду є відрізок [-1,1]. Приклад 35. Та ж сама задача для функціонального ряду

2 3 4 n ад n

x      x     x n-1 x n-1 x

x-хг +       +... +        + -. = h(-1) 2     3     4 n n=1 n

Відповідь: (-1,1].

Приклад 36. Знайти область збіжності ряду

h(- 1)n-1 (x - 3)n-1 = 1   x-3 + (x-3)2   (x-3)3 +   +(        (x - 3)n-1 + І=І     n2 - 4n-1 22 - 4    32 - 42     42 - 43    "   V   '    n2 - 4n-1 ""

Тут

u,(x) = (-Г1ІХ^, \un(x) = n - 4

(- 1)n-1 (x - 3)" 1

n2 - 4n-1

1 - 3n-1 I - 3n

2

n

- 4n-1

u-+1 (x) = (n +1)2 - 4n

і для фіксованого x за ознакою Даламбера для ряду з абсолютних величин

lim^1^ = lim

un+1 (x)=        І        |x - 3f      : |x - 3P    | = |x - 3Гп2 - 4n-1

lim

-/  M   11111   --. ~-   11111-;- -

u- (x)    n—"((n +1)2 - 4n   n2 - 4n-1 J   п—о |x - 3n-1 (n +1)2 - 4n

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1