2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 117

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

со n 2 3 4 n

Zt    л\п _1 X XXX /    .,\n_1 X

n=1 n 2     3     4 n

які ми розглядали в Прикладах 34, 35 попереднього різділу, є степеневими.

Часто-густо розглядають степеневі ряди більш загального вигляду

д

У an(x_ x0)n = a0 + a1 (x_ x0) + a2(x _ x0) + a3(x _ x0) +... + an(x _ x0)n +....( 2 )

n=0

Приклад 2. Ряд

У(_ 1)n _1 (x _ 3)n _1 = 1 x_3 + (x-3)-   (x-3)3 +   +( 1)n_1 (x _ 3)n_1 +

tt     n2 4n_1 22 4    32 42     42 43    "'   V   '    n2 4n_1 ""

розглянутий нами в Прикладі 36 того ж розділу, є степеневим вигляду (2).

Ряд (1) є частинним випадком ряду (2) при x0 = 0. З іншого боку, мы мо­жемо звести ряд (2) до вигляду (1), поклавши

x - x() = y,

звідки

У anyn = о, + «1 y + a2y2 + a3y3 +... + anyn +....

n=0

З цієї причини ми розглядатимемо теорію в основному тільки ряду (1).

Означення 2. Якщо степеневий ряд (1) збігається в точці x = r, тобто збі­гається числовий ряд

Ear" = a0 + a,r + a2 r2 + a3r3 +... + a rn + n 0 12 3 n '

n=0

то ця точка називається точкою збіжності ряду. Множина всіх точок збіжності називається областю збіжності степеневого ряду.

Аналогічне означення є справедливим для будь-якого функціонального ряду. У випадку степеневого ряду область збіжності має дуже просту структу­ру, до з"ясування якої ми й переходимо.

Перш за все зауважимо, що степеневий ряд (1) завжди збігається в точці x = 0, оскільки набуває в ній вигляду

Za 0n = a0 + a,0 + a202 + a303 +... + a 0n +... = a0 + 0 + 0 + 0 +... = a0 n 0 12 3 n 0 0

n=0

a) Існують степеневі ряди, які збігаються тільки в точці x = 0. Приклад 3. Степеневий ряд

GO

У n! xn = 0!+1! x + 2! x2 + 3! x3 +... = 1 + x + 2! x2 + 3! x3 +...

n=1

має єдину точку збіжності x = 0, оскільки границя (при фіксованому x)

ім"+1 (x )|        |(n + 1)xn+1     (n + 1)|xln+1        n! (n +1} x\n\x\     ,     , , lim. ^Д;1 = lim1   і      і   1 lim^-= lim—-= x lim(n +1),

\un (x) n! xn\    n^m    n!\x\        n^m     n!\x\ n^m

і ця границя може бути меншою 1 (а саме, рівною 0) тільки у випадку x = 0.

b) Існують степеневі ряди, областю збіжності яких є множина всіх дійс­них чисел.

Приклад 4. Степеневий ряд

ад       n 2 3 n

Zx x      x x

— = 1 + x + + +... + + ... n=1 n! 2!    3! n!

абсолютно збігається в будь-якій точці x, бо для довільного фіксованого x

n!

n!

I   \n I   i n+1

x       і /   m x

,   , |Un+1 (x} = /

n! (n +1)!

i   і"і   і   і      i        (  m f і   і"+1 і   in+1

x xn!    un+1 (x)   ..  [ \x\       \x\ "

lim   111 1     V"+^ = lim

n—оо' і"

x

--і—/ \i = lim 7-\~ -I = m11-= xi um-;-r

n! (n +1) Un (x)    n—HJn +1)!   n! J   n—GO |^ (n +1)      n—G(n +1)

,x   n!     і, 1 lim—LJ-= x -г = 0 < 1.

c) Існують, нарешті, степеневі ряди, областю збіжності яких є якась час­тина множини всіх дійсних чисел.

Наприклад, ряди Прикладу 1 збігаються на інтервалах [-1,1], (-1,1] і роз­бігаються на множинах точок (- оо, -1) U (1, оо), (- оо, -1] U (1, оо) відповідно (див. Приклади 34, 35 попереднього розділу).

Теорема 1 (теорема Абеля[13]). Якщо степеневий ряд (1) збігається в точці x = x', то він абсолютно збігається на інтервалі (-\x'\, |x'|). Якщо він розбігаєть­ся в точці x = x", то він розбігається поза інтервалом (- |x"|, |x"|).

■Нехай, наприклад, ряд (1) збігається в точці x = x', тобто збігається чи­словий ряд

У an(x')n = a0 + a1 x' + a2(x ') + a3(x ') +... + an(x')n +....

n=0

На підставі необхідної умови збіжності загальний член цього ряду (а саме

an (x')n) прямує до нуля при n ад. Отже, для достатньо великих n (нехай для

n > N, де N - деяке натуральне число) він є обмеженим: існує число A таке, що

< A

an (x')n

xдля n > N.

Нехай тепер x довільна точка інтервалу ( |x'|, |x'|), тобто |x| < |x'|, і тому

1x1

< 1.

В цьому випадку для загального члена anxn ряду (1) маємо (при n > N)

a.

,( x')n

{x')n

Xx')n

{x')n a (x )n

< A

Це означає, що при n > N члени ряду, складеного з абсолютних величин членів ряду (1), менше відповідних членів збіжної геометричної проґресії з знаменни-

ком

< 1.

Отже, ряд (1) абсолютно збігається на интервалі ( |x'|, |x'|).«

З теореми Абеля випливає, що для степеневого ряду (1), який має як точ­ки збіжності, , так і точки розбіжності, існує додатне число R (радіус збіжності) таке, що ряд абсолютно збігається на інтервалі (інтервалі збіжності)

( R, R)

і розбігається поза відрізком [ R, R].

Поведінку ряду (1) на кінцах ± R інтервалу збіжності завжди треба дослі­джувати окремо.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1