2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 118

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Радіуси і інтервали збіжності рядів, згаданих в Прикладі 1, є відповідно R = 1, ( 1,1). Перший ряд збігається на кінцах x = ±1 інтервалу збіжності, дру­гий же збігається в його правому кінці x = 1 і розбігається в лівому x = 1.

Загальний степеневий ряд (2) завжди збігається в точці x0. Його інтервал збіжності (у випадку існування точок збіжності і розбіжності) має вигляд

(x0 R x0 R).

Наприклад, радіус і інтервал збіжності ряду, згаданому в Прикладі 2, є відповідно R = 4, (x0 R, x0 + R) = (3 4, 3 + 4) = ( 1, 7). Ряд збігається на обох

x

n

n

n

n

x

x

інцях x = —1, x = 7 інтервалу збіжності (див. Приклад 35 попереднього роз­ділу).

Якщо степеневий ряд ((1) чи (2)) збігається в єдиній точкі (x = 0 або, від­повідно, x = x0 ), ми можемо сказати, що радіус збіжності такого ряду дорівнює

нулю, R = 0.

Для ряду з Прикладу 3 ми маємо R = 0.

У випадку збіжності ряду на множині всіх дійсних чисел ми кажемо, що радіус збіжності є нескінченним, R = со. Мы маємо R = оо в Прикладі 4.

Радіус збіжності степеневого рядку ми можемо шукати таким же чином, як в прикладах 34 - 36 попереднього розділу, тобто за допомогою ознаки Да-ламбера для ряду, складеного з абсолютних величин членів даного ряду. В од­ном частинному випадку ми можемо отримати відповідну формулу, а саме

R = limJ^, ( 3 )

якщо границя (3) існує. Дійсно, ознака Даламбера (в тільки що вказананому се­нсі) дає

r an+1 x"+\\\v k+J

n—co  \anx"\     ' 'n—co |an

і ряд абсолютно збігається при

x limV^ < 1, x < limri, li^ri < x < li^ri

n—«>   a n—«> a n—«> a n—«> a

x Є ^        |aj |an| ^

-lim-1lt, lim-1—-

V rn+1| rn+1| у

Приклад 5. Для першого з рядів Прикладу 1 маємо

1   і     і        1       „ a

' 1       1 >

an = \an\ = —, an+1 =7-7x2, R = llm Г| = H -7-777

n (n +1)        n—m \an+1   n°V n    (n +1)

для другого ряду = lim ^ = 1,

n—cO n( 1)n1 -, |aJ = -, lanJ =        R = lim= limf-:       I = lim— =1.

-, |an| = _, \an+1 =-7, R = llm^l-T = iim| -7 I = ти-

n n n +1       n—co |an+1   nmV n n +1 у   n—co n

Приклад 6. Для ряду Прикладу 2

f

*n =_(г, an+, =    ( 1')-, R = llm-L-21:- = lim2-r.--^

n   n2 4n^ n+1    (n +1)2 4n       n—0 |an+J   n—0V n2 4n—1  (n +1)2 4

(n +1)2 4".   (n +1)2 4n—1 4,.   (n +1)2    л 1 л = limv     ' .   = lim-^-2-_-= 4іі^Л—= 4 ! = 4.

Приклад 7. Формула (3) незастосовна для ряду

ад                        2n—1                     3         5         7 2n1

/ (1)    7-7" = x--+---+ ... + (1)

(2n — 1) 3!    5!    7! (2n — 1)!

+...

(в цьому випадку a0 = 0,a1 = 1,a2 = 0,a3 = — 3-,a4 = 0,a5 = 5-,...), і ми застосовує­мо ознаку Даламбера. Саме, для фіксованого x

2n—1

|2n—1 I |2n+1

x           і    / M       x і       / m x

= -J—1--, u Ax)=-

"n (x )=( Г (27—1) • \Un (x) = (2771) • Un+1 (x Ь (2n+1)

limy^ = lim -.-^.-.-

n—co \un (x)    n—col (2n +1)!  (2n 1)!

2n—1\ |2

lim-

x

n^(2n + 1)|x|2 n—1

(_ \. i    |2n—m |2

2n 1)!x     x й . 1

= lim-u-        2 = x limp-r- = 0 < 1.

n—co(2n 1)2n(2n +1) x\n~ n—co 2n(2n +1)

Ряд абсолютно збігається на множині всіх дійсних чисел, і ми маємо радіус збі­жності R = д .

Приклад 8. Довести самостійно, що радіус збіжності ряду

ад x2n x 2     x4     x6 x2n

V(— 1)n *   = 1____+L_____+... + ( 1)n+...

дорівнює нескінченності, R = ад.

Заключаючи, ми можемо сказати, що областю збіжності степеневого ряду може бути: а) єдина точка (x = 0 для ряду (1) і x = x0 для ряду (2)); б) множина всіх дійсних чисел; в) деякий інтервал (( R, R) для ряду (1) і (x0 R, x0 + Rля ряду (2)), включаючи або виключаючи один чи обидва його кінці.

10.1.2. Властивості суми степеневого ряду

Означення 3. Нехай X — область збіжності степеневого ряду. Для довіль­ного x є X позначимо S(x) суму відповідного числового ряду. Функція S(x) з областю визначення називається сумою степеневого ряду.

Будемо для визначеності розглядати ряд (1), і тоді для довільного x є X ми зможемо написати

S (x) =    anxn = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 +... + anxn +.... ( 4 )

n=0

Сума степеневого ряду має ряд важливих властивостей, які ми сформу­люємо без доведення.

1. Сума S (x) степеневого ряду неперервна в його інтервалі збіжності.

Замечание 1. Якщо степеневий ряд збігається в одному з кінців інтервалу збіжності, його сума S(x) неперервна і в цьому кінці.

Нехай ряд (4) збігається на кінці x = R. Зауваження означає, що

ад

S(R) = // anRn = a0 + a1R + a2R2 + a3R3 +... + anRn +....

n=0

2. Сума S(x) степеневого ряду інтеґровна в інтервалі збіжності і може бу­ти проінтеґрована почленним інтеґруванням ряду.

Для випадку ряду (1) інтеґрування по інтервалу [0, x] с: X дає

x x   ґ   ад Л

fS(x)dx =ПУanxn dx = a0x + a~x2 + ^x3 + ^x4 +...+ ^xn+1 +.... ( 5 )

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1