2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 119

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Ряд (5) також є степеневим, причому його радіус збіжності збігається з радіу­сом збіжності R ряду (4).

Останнє твердження легко довести за умови існування границі (3). Дійс­но, радіус збіжності R' ряду (5) на підставі формули (3) дорівнює

ґ\

R = lim

n—ад'

an1

n+1

an 1 \(n + 0 |an—n + 1

Л :li^r«—uv^i = ii^cn—и ii^— = R ^1 = R .

п—0    \an\n       п—0 a3. Сума S (x) степеневого ряду диференційовна на інтервалі збіжності і може бути продиференційована почленим диференціюванням ряду. Для ряду (4) властавість означає

Гад V

S (x) = !//anxn   = 1a1 + 2a2x + 3a3x2 + 4a4x3 +... + nanxn— +....      ( 6.1 )

V n=0 У

Ряд (6) є степеневим, а радіус його збіжності збігається з радіусом збіжності R ряду (4). Незмінність радіуса збіжності може бути доведена таким же чином (якщо існує границя (3)), як і для властивості 2. Зробіть це самостійно.

3. Застосовуючи властивість 3 нескінченну кількість разів, отримаємо S "(x ) = 1- 2a2 + 2 3a3 x + 3 4a4 x2 + 4 5a5 x3 +... + (n 1)nanxn—2 +...        ( 6.2 ) S ""(x) = 1 2 3a3 + 2 3 4a4 x + 3 4 5a5 x2 +... + (n 2)(n 1)nanxn—3 +...   ( 6.3 )

S(n)(x) = Ь 23 ... nan + 23 ... n(n + 1)an+1 +... ( 6.n )

Покладаючи тепер x = 0 в формулах (4), (6.1), (6.2), (6.3),     (6.n),..., ми зможемо знайти коефіцієнти a0, a1, a2, a3,an,... ряду (4),

a0 = S(0) = 0-S(0), a = S'(0) = іS'(0), a2 = 2-S"(0), a3 = 3.S""(0),...,

an = n S(n) (0),.... n!

В результаті ряд (4) може бути записаний наступним чином:

S(x) = S(0) + S'(0)x + S""(0) x2 + S""(0) x3 +... + S(n)(0) xn +( 7 )

2! 3! n!

або в короткому запису

S (x ) = /

S(n) (0)

n=0 n! 1

n

x

Ряд (7) називається рядом Маклорена[14] для функції S(x).

Аналогічно, якщо функція S(x) є сумою ряду (2),

д

S(x) = // an (x x0 )n = a0 + a1 (x x0) + a2 (x x0 )2 +... + an (x x0 )n +( 8 )

то

S(x) = S(x0)+ S'(x0 )(x  x0) + S"2x^ (x  x0 )2 +... + ^-T^ (x  x0 )n +...    ( 9 )

2! n!

S (x ) = // (x  x0 )n

n=0 n!

Ряд (9) називається рядом Тейлора[15] для функції S (x). Приклад 9. Знайти суму ряду

Л\    x     x      x x x) = + + +... +-+ ... .

3     7    11 4n 1

Почленно диференціюючи ряд, отримаємо геометрну проґресію з знамен­ником q = x4 і радіусом збіжності R = 1,

f" (x ) = x2 + x6 + x10 +... + x4n2 + .... Сума проґресії на підставі відповідної формули (див. формулу (7) в розділі 9.1) дорівнює

f (x)= x2

1  x4

Інтеґруючи, дістаємо

x—1

arctan x + C.

2

Jy }   f 1 x4 2 fV x2 1   x2 +1J 4   |x +1|

На підставі очевидної умови f (0) = 0 знаходимо C = 0 і отримуємо шукану су­му

Ix 11

f (x ) =  4ln|

1

arctan x. 2

x+1

Приклад 10. Знайдіть тим же методом суму ряду

3 5 7 2n1

Д\         x     x     x           j  л\п—1 x x ) = x--+---+... + ( — 1) -+ ....

Приклад 11. Знайти суму ряду

д

f (x) = 1 — 3x2 + 5x4 — 7 x6 +... + (— 1)n (2n + 1)x2n +... = //(— 1)n (2n +1)

n=0

Задача розвзується за допомоги почленного інтеґрування даного ряду. Дійсно,

j f (x)dx = x  x3 + x5  x1 +... + ( 1)nx2n+1 +... =       1)nx2n+1 + C =        + C,

причому результат є вірним за умови |x| < 1. Тепер після диференціювання отримуємо (для |x| < 1)

f (x) = (f f (x )dx)" = f ^-1 " = '"б + x )—f2 x = 71U2 M '   V1 + x2 J (1 + x2 )2        (1 + x2 )2

Приклад 12. Знайти тим же методом суму ряду

д

f (x) = 1 + 2 x + 3x2 + 4 x3 +... + nxn1 +... = / nxn—1.

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1