2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 120

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

n=1

10.2. РОЗВИНЕННЯ ФУНКЦІЙ В СТЕПЕНЕВІ РЯДИ

Ми будемо вивчати тут розвинення функцій в ряди Маклорена. Нехай дано нескінченно диференційовну функцію f (x). Їй може бути по­ставлений у відповідність її ряд Маклорена, а саме:

f (x) ~ f (0)+ f \0)x + f2(0)x2 + f"3|0)x3 +... + ^-Т®xn +... = // f7n(0^xn. ( 10 )

2! 3! n! n=0 n!

Необхідно з"ясувати такі два питання: за якої умови а) ряд (10) збігається і б) має своєю сумою функцію f (x). Інакше кажучи, ми шукаємо умови розвив-ності функції в ряд Маклорена.

Необхідну і достатню умову розвивності дає нам формула Маклорена для функції f(x) (див. п. 2.3.4 В, формули (23), (25))

f (x ) = f (0) + f '(0)x + /2°) x2 +... + ^ xn + ^ (x ^jr/l!® x! + ^ (x).( и )

Многочлен формули Маклорена збігається з n-ою частковою сумою ряду Мак­лорена (10), а rn (x) є залишковим членом формули. Наприклад, залишковий член в формі Лагранжа має вигляд

f (n+1)(c)

rn (x) = /ГЛ хП+1, c є(0, x). ( 12 )

Порівняння формул (10) и (11) очевидним чином веде до наступної тео­реми.

Теорема 2. Нескінченно диференційовна функція розвивна в ряд Макло­рена (10) на деякому інтервалі (- a, a) тоді і тільки тоді, якщо при n оо зали­шковий член формули Маклорена (11) прямує до нуля на (- a, a),

lim rn (x) = 0  для   x є (- a, a )1. ( 13 )

n—co

У випадку виконання умови (13) ми можемо записати розвинення функції в ряд Маклорена, замінивши в формулі (10) знак відповідності ~ знаком рівно­сті, а саме:

f (x) = f (0)+ f X0)x + Шx2 + Шx3 + ... + ^xn +...=£^xn .( 14 )

2! 3! n! n=0 n!

Теорема 3. Якщо нескінченно диференційовна функція і всі її похідні обмежені одним і тим же числом на деякому інтервалі (- a, a), то функція є по-звивною в ряд Маклорена (10) на цьому інтервалі.

■Нехай існують інтервал (- a, a) і число C такі, що

f(п )(x )|< C

для будь-якого n (n = 0,1, 2, 3,...) і довільного x є (-a, a) (|x| < a). Записавши за­лишковий член формули Маклорена в формі Лагранжа (12) і використавши ре­зультат Прикладу 20 попереднього розділу, ми отримаємо

' Очевидно, що інтервал (- a, a) повинен лежати на інтервалі збіжності ряду.

К (x J:

f (n+1]{c )

.n+1

(n + 1)

x

f (     )(c      in+1 C      і   і n+1      „ \a

I n+1 C       I   I n+1 1-і „

x <^ra = с-~н—0.

(n +1)! M       (n + 1)M (n + 1)

Залишається застосувати теорему 2.^

Приклад 13. Функції sin x, cosx задовольняють умови теореми 3 на мно­жині всіх дійсних чисел (-оо, оо). Функція єх задавольняє умови на довільному скінченному інтервале (- a, a) (C = ea). Отже, ми зразу отримуємо розвинення цих функцій в ряди Маклорена на підставі результатів п. 2.3.4 В, а саме:

x 2      x 3      x 4

є = 1 + x + — + — + — +... + — +( 15 ) 2!    3!    4! n!

x3   x5   x7      , ^n-,   x2n-1

sin x = x--+---... + (- 1)n17-r- + ( 16 )

3!    5!    7!      v   J   (2n -1)!

2 4 6 2n

x      x      OC /    \n x

cos x = 1--+---+... + (- 1)n7-r- + .... ( 17 )

2!    4!    6! (2n)

Всі три ряди абсолютно збігаються на (- со, со) (див. Примеры 4, 7, 8), так що

формули (15), (16), (17) справедливі для будь-якого x.

Замечание 2. Мы можемо отримати розвинення (17) почленним диферен­ціюванням ряду (16).

Приклад 14 (біномний ряд). Розвитумо в ряд Маклорена таку функцію

f (x) = (1 + x)m,  m є (-о, о), ( 18 )

де m - деяке дійсне (але не натуральне) число. Спочатку знаходимо похідні функції (18),

f '(x) = m(1 + x)m-1, f "(x) = m(m -+ x)m-2, f \x) = m(m - 1)(m - 2)(1 + x)m-3

f{n) (x) = m(m - 1)(m - 2).. .(m - (n -+ x )m-n Тепер знаходимо значення функції та її похідних в точці x = 0, f (0) = 1, f '(0) = m, f "(0) = m(m -1), f "'(0) = m(m - 1)(m - 2),

f{n)(0) = m(m - 1)(m -2)...(m -n +1), f (n+1)(0) = m(m - 1)(m -2)...(m -n + 1)(m -n. Нарешті за формулою (10) дістаємо

 (1 + x )m ~

m(m -1) 2   m(m - 1)(m -2) 3        m(m - 1)(m - 2)...(m -n +1) n

~ 1 + mx + —-- x + —----        x +... + —---—-- x +....

2! 3! n!

Радіус збіжності останнього ряду дорівнює R = 1, оскільки на підставі

формули (3)

.  (\m(m - 1)(m -2)...(m -n +1) |m(m - 1)(m -2)...(m -n + 1)(m -n)P

R = lim -:--.-г- =

n—m^ n! (n +1)! y

n +1   |m(m - 1)(m - 2)...(m -n + 1)(n +1)! n +1

= lim,--т^---:-г—--Г-= lim,-г =

m -n m(m - 1)(m -2)...(m -n + 1)(m -n)n! m -n

,.   n(1 + Vn)   ,.    1 + 1n     1 + 0 ,

lim —- = li^^——!г = 1-г = 1.

n|m/n -1        m/n -1   |0 -1

Можна довести, що на інтервалі збіжності (-1,1) виконуються умови тео­ремы 2, і, отже, ми отримаємо на цьому інтервалі наступне розвинення (так званий біномний ряд)

/,     \m   , m(m -1) 2        m(m - 1)(m -2)...(m -n +1) n

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1