2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 121

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Біномний ряд (19) є джерелом багатьох інших розвинень. Приклад 15. Поклавши в біномному ряді m = -1, дістанемо

(1 + x )-1= 1 + (- 1)xx2 + (-О-1)-2) x3 + ...= ,

2! 3!

1* * 2 3^ 2 3

= 1 -x +-x--x +... = 1 -x + x -x +

2! 3!

-1 со

— = 1 -x + x2 -x3 +... + (-1)nxn +... = jj(-1)nxn   (-1 < x < 1).       ( 20 )

1 + x n=0

Зауваження 3. Розвинення (20) можна було б отримати зразу як суму збі­жної геометричної проґресії (з знаменником q = - x), якщо виконується умова |q| = |- x = \x\ < 1. Ряд в формулі (20) розбігається на обох кінцях інтервалу збіж­ності (-1, 1 .

Приклад 16. Почленно інтеґруючи ряд (20) по відрізку [0, x], Ixl < 1, мизнаходимо розвинення натурального логарифма

ln(1 + x) = x-1- + ^-^ + ... + (- 1)n-1 °xL + ... = jj(- 1)n-1 ^   (-1 < x < 1). ( 21 ) 2     3     4 n n=1 n

Ряд (21) збігається на кінці x = 1 (за ознакою Лейбніца для знакозмінного ряду)

і розбігається на конці x = -1 (чому?).

Приклад 17. Замінимо в розвиненні (20) змінну x на x2 ,

1

= 1 - x* + x -x +... + (-1)"x*" +... =

n=0

1 + x2

= 1 - x2 + x4 -x6 +... + (- 1)nx2n +... =        1)nx2n   (x2 < 1, -1 < x < 1).

Післе почленного інтеґрування останнього ряду отримуємо розвинення арктан­генса з інтервалом збіжності (-1, 1 ,

x3        x5        x7 x 2n-1 с x2n-1

arctan x = x - + - +... + (- 1)n-1--+... = Y(- 1)n-1--.    ( 22 )

3   5   7 2n -1     n=1      2n -1

Областю збіжності цього ряду є відрізок [-1,1], бо він збігається на кінцях ін­тервалу збіжності (впевніться в цьому за допомоги ознаки Лейбница!). Приклад 18. Покладімо спочатку в біномному ряді (19) m = -1/2, 1    = 1 _1_х + (-1/2)((-12)-1) x2 + (-1/2)((-12)-12)-2) x3 +

K+x       2 2! 3!

V1 + x

-^= = 1 —x + -2-x2--3-x3 + —-x4, ( 23 )

а потім замінимо x на - x2 (|- x2| = |x^ < 1, звідки \x\ < 1, -1 < x < 1),

1       ,   1  2     1*3    4   1*3*5 6   1*3*5*7 8

= 1 + - x +—— x +—-x +--x + ....

4 - x2        2      22 * 2!       23 * 3!        24 * 4!

x

Наступне почленне інтеґрування дає розвинення арксинуса з інтервалом збіж-

ності -1, 1 )

1    3      1 * 3     5    1 * 3 * 5   7   1 * 3 * 5 * 7 9

arcsin x = x +--x +—-x +—-x +--x +.... ( 24 )

2 * 3      22 * 5 * 2!       23 * 7 * 3!       24 * 9 * 4!

Зауваження 4. Мт часто маємо справу з розвиненнями функцій в ряд

Тейлора

f (x ) = f x )+ f '{x, )(x - x0) + ^ (x - x0 )2 +... + fnxo) (x - x0 )n +( 25 )

2! n!

f (x) = jj (x - x0 )n.

n=0 n!

Відповідна теорія аналогічна викладеній стосовно ряду Маклорена.

В Прикладах 16 - 18 ми дістали розвинення декількох функцій, знаючи розвинення інших. Розглянемо кілька додаткових прикладів.

Приклад 19. Розвинути в ряд Маклорена функцію

ln(15 + x2).

Використовуючи стандартне розвинення (21), ми вчиняємо наступним чином:

ln(15 + x2) = ln15(1 + x V15)= ln15 + ln(1 + x 2/15) =

n

= ln15 +---- +----- +... + (-1) -+....

15 2 * 152 3 * 153 4* 154 n * 15n

Інтервал збіжності (- W5, W5) ряду визначається з нерівностей

|x= x715 < 1, x2 < 15, \x\ <л/15,-л/15 < x <W5.

Областю збіжності ряду є відрізок [- л/Г5, л/Г5] (чому?). Приклад 20. Беручи до уваги, що

ln(x2 - 7x +12)= ln((x - 3)(x - 4)) = ln((3 - x)(4 - x)) = ln(3 - x) + ln(4 - x), розвинути в ряд Маклорена функцію ln(x2 - 7x +12) і знайти область збіжності отриманого ряду.

Приклад 21. Розвинети в ряд Маклорена функцію

r( \   sin x - x cos x

f (x )=-

x

Ми знайдемо шукане розвинення, беручи до уваги стандартні розвинення (16), (17) синуса і косинуса і абсолютну збіжність обох рядів на множині всіх дійсних чисел.

f (x ) = sin x - x cos x 1

+ x +... - x 3!    5!    7! v

x

2 4

xx 2! + 4! 6!

6

v7

.3

.5

.7

.3

.5

.7

x    x    x x    x x

3! + 5!    7! +...   x + 2!    4! + 6!

1 1

2! 3!

11

4! 5!

x5 + 11

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1