2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 122

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

6! 7!

11

8! 9!

x9 +.

11

2! 3!

11

4! 5!

11

6! 7!

11

8! 9!

x + ... .

x

x

1

x

1

3

7

x

2

4

6

10.3. ДЕЯКІ ЗАСТОСУВАННЯ СТЕПЕНЕВИХ РЯДІВ

Степеневі ряди успішно застосовуються для інтеґрування диференціаль­них рівнянь, обчислення інтеґралів, які не виражаються в елементарних функ­ціях, і в наближених обчисленнях.

10.3.1. Наближене інтеґрування диференціальних рівнянь

а) Метод ряду Тейлора (Маклорена)

Нехай треба розв"язати задачу Коші для диференціального рівняння пер­шого порядку

y ' = f (x, У\   y(x0 ) = y0. ( 26 )

Шукатимемо розв"язок задачі у вигляді ряду Тейлора

y = y(x0 ) + y'(x0 )(x - x0 ) + 2 y"(x0 )(x - x0 )2 + 1 y"' (x0 )(x - x0 )3 + ( 27 )

в якому треба знайти шуканої функцаї та її похідних в точці x0 . За допомоги початкової умови і диференціального рівняння ми зразу отримуємо

y (x0 ) = ^ y' (x0 ) = f (xo, y (x0 )) = f (xo, y0 ) Для знаходження наступних значень похідних ми послідовно дифенціює-мо дане рівняння та рівняння, отримані після диференціювання, y " = F (x, y, y'), где F (x, y, y') = fx + f" * y'

y" = F2(x, y, y', y"), y(4) = F3(x, y, y', y", y "'),..., а потім покладаємо цих рівняннях x = x0 ,

y " (x0 ) = F1 (x0, y0, y' (x0 )), y "' (x0 ) = F2 (x0, y0, y' (x0 ), y " (x0 )\

y(4)(x0) = F3yo, y"(x0X y " (x0), y(x0)),...

Діючи таким чином, ми можемо знайти довільну кількість членів шуканого ря­ду Тейлора.

Приклад 22. Розв"язати задачу Коші

y ' = y sin x +1, y (Aj = 1.

Відповідний ряд Тейлора

y=y (f)+y (f)(x - f)+2 y"( f)(x - f 1+2y" (f)(x - f

Діючи відповідно викладеній теорії, отримуємо

y" (f )=y(f) sin!+1=11+1=2-

y" = y"sinx + y cosx, y = y"sinx + 2y"cosx - y sinx, y ^ = y ""sin x + 3 y "cos x - 3 y " sin x - y cos x

y" ( 2 j=y 11) sini+yl 2 j cosi=2*1+b0=2,

» JA    sin      f .       2y.ff)     cosf ...f.si..f ; +    2*2*0- = 1,

y" (f )=y" (f) sinf+2 y (f) cosf - 4f) sinr

y(4(§M§) sinf+3yli) cosf-3y( fM-<f M =-5,

Таким чином, ми вже можемо записати п"ять перших членів ряду, який дає розв"язок задачі,

<x - f)+1 * 2*(x - f j + i*1*(x - f) + 4(- <x - f)

,   і    f )  (    f )2   1 (    f )3   5 (    ж )4

y = 1 + 21 x--l + l x--I + | x--I--1 x--I +....

(     2 j   (     2 j    6 (     2 j    24 (     2 j

2 j   (     2 j    6 (     2 j    24 ( 2, Приклад 23. Розв"язати задачу Коші для диференціального рівняння дру-

гого порядку y " = xy" - x2y + sin x,   y(0) = 1, y"(0) = -1.

Тут x0 = 0, тому ми шукаємо розв"язок в вигляді ряду Маклорена y

= y(0)+ y'(0)x +1 y"(0)x2 + і y'"(0)x3 + 4_ y(4)(0)x4 + і y ^(0)x5 +....

Початкові умови і диференціальне рівняння дають

У (0) = 1, y'(0) = -1, y "(0) = 0 • y'(0) - 02 • y (0) + sin0 = 0. Післе диференціювання даного рівняння та його наслідків

y" = y + xy" - 2xy - x2y + cosx, y(4) = 2y" + xy"" - 2y - 4xy" - x2y" - sin x,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1