2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 123

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

y(5) = 2y + xy(4) - 6y " - 6xy " - x2y - cos x,... ми знаходимо значення похідних

y"(0) = 0, y(4)(0) = -2, y(5^(0)= 5,... і перші чотири ненульових члени ряду Маклорена для шуканої функції

, 1      4        5 5

y = 1 - x--x +--x + ...

12 120

б) Метод невизначених коефіцієнтів для лінійних рівнянь

Проілюструємо цей метод на двох прикладах.

Приклад 24. Розв"язати ту ж задачу Коші, що й в Прикладі 23,

y " - xy" + x2y = sin x,   y(0) = 1, y"(0) = -1. Шукатимемо розв"язок задачі у вигляді степеневого ряду з невизначени­ми коефіцієнтами с0, с1, с2,....

.2

y = с0 + с1 x + с2 x2 + с3 x3 + ... y" = с1 + 2с2 x + 3с3 x2 + 4с4 x3 +... y " = 2с2 + 6с3 x + 12с4 x2 + 20с5 x3 +...

x

x

1

Початкові умови дають

y (0) = С0 = 1, y "(0) = С1 = -1   С0 = 1, С1 = -1. Тепер ми підставляємо ряд в ліву частну рівняння, а sin x в його правій частині замінюємо рядом (16). Отримуємо рівність двох рядів

2c2 + (- c1 + 6c3 )x + (c0 - 2c2 +12c4 )x2 + (c1 - 3c3 + 20c5 )x3 +...

3!

+....

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях x, дістаємо систему рівнянь відносно коефіцієнтів c2,c3,c4,....

= 0

- c1 + 6c3       = 1

c0 - 2c2 +12c4   = 0

c1 - 3c3 + 20c5   = - ^6

С2 = 0,

С3 = 1/6 (1 + С ) = 0, С4 = 1/12 (2С2 - С0 ) = -1/12, = 1/20 (-1/6 - c1 + 3c3) = 5120,

Перші чотири ненульових члени ряду, який дає розв"язок задачі,

, 1      4        5 5

y = 1 - x--x +--x + ...

12 120

збігаються з отриманими в Прикладі 23.

Приклад 25. Знайти загальний розв"язок диференціального рівняння

y" + k2 y = 0.

За аналогією з Прикладом 24 шукаємо розв"язок в вигляді степеневого ряду з невизначеними коефіцієнтами c0, c1, с2,...та підставляємо цей ряд в рів­няння.

y = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + c4 x4 + c5 x5 + c6 x6 + c7 x7 + c8 x8 + ... y" = c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + 4c4 x3 + 5c5 x4 + 6c6 x5 + 7c7 x6 + 8c8 x7 + 9c9 x8 +... y " = 2! c2 + 2 • 3c3 x + 3 • 4c4 x2 + 4 • 5c5 x3 + 6c6 x5 + 6 • 7c7 x6 + 76c6 x5 + 7c7 x6 + 8c8 x7 +...

k2

0 1

(2! c2 + k 2c0 )+(2 3c3 + k2 c1 )x + (3^ 4c4 + k 2c2 )x2 + (4 5c5 + k2 c3 )x3 + + (5 • 6c6 + k 2c4 )x3 + (6 • 7c7 + k 2c5 )x4 + (7 • 8c8 + k 2c6 )x5 + (8 • 9c9 + k 2c8 )x6 +... = 0. Тепер ми прирівнюємо до нуля всі коефіцієнти ряду в лівій частині 2!c2 + k2c0 = 0,2 • 3c3 + k2c1 = 0,3 • 4c4 + k2c2 = 0,4 • 5c5 + k2c3 = 0,5 • 6c6 + k2c4 = 0, 6 • 7c7 + k2c5 = 0, 7 • 8c8 + k2c6 = 0, 8 • 9c9 + k2c8 = 0,... і виражаємо c2, c4, c6, c8,... через c0, а c3, c5, c7, c9,... - через c1.

c2

k 2 k 4

6!

' С0 , С8

8!

c0 , ... ,

3

x

0

x

x

3

c

x

k2 k4 k6 k8

c3 = - ~3~ ^ c5 = "5.Г' al, c7 = -  С1, c9 = 79! С1,....

Відсутність початкових умов означає, що ми можемо вважати коефіцієнти c0,

c1 довільлними числами. Після декількох простих кроків з використанням рядів

(16), (17) ми дістаємо остаточний результат,

k2     2   k2     3   k4     4   k4     5   k6     6   k6     7   k8 8 2! 0      3!  1      4! 0      5!  1      6! 0      7! 1      8! 0

f       /2 .4 ,6 ,8 \ f        ,2 ,4 ,6 .8 Л

k    2   k    4   k   6   k 8

1--x + x--x + x

v    2!       4!       6!       8! ,

f     _>„Л2    _>„.Y>    li„\6    (i„.\8 \

v      2!  +  4!       6!  + 8!

k3   k5   k7 k9

x--x +--x--x +--x

v     3!        5!       7!       9! ,

f      d„.\3   d„.\5   (i„.\7   d„.\9 \

3!  +   5!       7!  + 9!

y = c0 cos kx + — sin kx. k

10.3.2. Наближене обчислення інтеґралів

Обмежимось двома цікавими прикладами.

Приклад 26. В теорії ймовірностей розглядається так звана функція Лап­ласа

x і 2

0(x) = -i= f e 2 dt. ( 28 )

V2^ J0

Відомо, що первісна підінтеґральнї функціх не виражається за допомоги еле­ментарних функцій. Але ми можемо представити функцію Лапласа у вигляді ряду. Замінивши в розвиненні (15) змінну x на -12/2 і почленно проінтеґрува-вши, дістанемо

t2 ,2 ,4 ,6 ,8 ,10 ,2n со ,2n

e2 = 1 --+43t+4—5—+...+(- 1)n—+...=S(- 1)n—,

0(x) = ^-L f e 2dt = ^= x--— + ^--... + (- 1)n-*~ ~ .     +... .(29)

t2 л      ( 3 5 2n+1 "N

= С0

k

Приклад 27. За допомоги розвинення (16) ми представляємо рядом так званий інтеґральний синус

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1