2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 124

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

x x і  Ґ 3 5 7 2n-1 Л

r sin x ,    r 1 I     x    x    x7 ~   1 *

Six =-dx =  \ x--+---+... + (-1)   7-r-

J0   x 0 x {     3!    5!    7! v   '   (2n -1)

x

-r +...

dx

x2     x4     x5 ,   .n-l    x2n-2 ^

I       x      x      x n-1

--+---+ ... + (- 1) -

J ".I       <.l      71 V '

dx ,

x sin x                    x3         x5         x7                                        x2n-1 Six = f-dx = x--+---+ ... + (- 1)n-1 7-tt-r- +....      ( 30 )

J0   x 3 3!   5 5!   7 7!        v   '    (2n - 1)(2n -1)

0 V    3!    5!    7!   -   4        (2n -1)! ,

x    3 5 7 2n-1

Г sin x , x      x x

x

Нагадаємо, що первісна підінтеґральної функції в інтеґральному синусі не виражається в елементарних функціях.

10.3.3. Наближені обчислення

Тут ми також обмежимось кількома прикладами. Див. також детально розглянутий Приклад 27 в п. 9.3.1.

Приклад 28. Знайти наближене значення кореня -J3. Скористаємось біномним рядом (19) для m = 1/2, тобто (перевірте!)

л/1 + x = (1 + x)2 = 1 + x —--x2 + —— x3----x4 +... ( 31 )

2     22 2!       23 3!       24 4!

Якщо ми запишемо V3 наступним чином (с 9 десятковими цифрами, останню з яких розглядатимемо як запасну)

V3 = V1.732 + 0.0071 = І1.7321 1 + 0.0071 І ~ 1.7^1 + 0.002372281,то зможемо за-

V       V    2.9929J

стосувати ряд (31) для x = 0.002372281. Маємо (якщо працювати з однією за­пасною десятковою цифрою)

V3 =

, Цл   0.002372281   0.0023722812   1 3 0.0023722813   1^ 3 5 0.0023722814

= 1.73\ 1 +---;-+-:---;-+

2 22 • 2! 23 • 3! 24 • 4!

= 1.730000000 + 0.002052023-0.000001217 +... «

«1.730000000 + 0.002052023 = 1.732052023

1=з абсолютной похибкою

а = |- 0.000001217 +... »| < 0.000001217,

що не перевищує за абсолютною величиною числа 0.000001217. Отже, ми мо­жемо стверджувати, що

1.732052023 - 0.000001217 <V3 < 1.732052023 + 0.000001217, 1.732050806 < V3 < 1.73205324 V3 = 1.73205

де всі цифри точні. Взявши часткову суму ряду з трьома членами, отримали б більш точне значення кореня V3 = 1.732051.

Приклад 29. Знайти наближене значення числа л.

Візьмемо до уваги, що

л 1 — = arctan —:=,

6 s

і використаємо розвинення (22) для x = J=, де як наближене значення кореня

візьмемо V3 «1.732051 (див. попередній приклад).

1      ( 11           1            1            1 1 л = 6arctan^ = 6\ —;=--т--—;=--—;=+--—;=--

13     VV3   3-3л/3   5 32л/3   7 33л/3   9 34л/3   11^ 3/3 6 (     1111        1 1 1

^-f=\ 1--+-7--Т +-Т--г +-г-

V3 V    3 3   5 32   7 33   9 34   11^ 35   13^ 36   15 37

г,      .     1       1        1        1        1 1 1 1

= 2л/3\ 1--+-z---т +-т--г +-т--т +-т-

3 • 3   5 • 32   7 • 33   9 • 34   11^ 35   13 • 36   15 • 37   17 • 38   19 • 39 = 3.464102 - 0.384900 + 0.076980 - 0.018329 + 0.004753 - 0.001296 + 0.000367 -- 0.000104 + 0.000031-0.000010 + 0.000003 -... « 3.141594 + 0.000003 -.... Отже, можна вважати, що л = 3.141594 з абсолютной похибкою а = |0.000003-...| < 0.000003.

Таким чином,

3.141594-0.000003 < л < 3.141594 + 0.000003, 3.141591 < л < 3.141597,

л « 3.14159,

Степеневі ряди 433 де всі цифри точні. Більш точне значення числа л, яке ми використаємо в на­ступному прикладі, є л = 3.1415926

Приклад 30. Знайти наближене значення cos3°.

Виражаючи кут в радіанах і застосовуючи формулу (17), матимемо

л 3 1415926

cos3° = cos— = cos—-= cos0.0523599 =

60 60

0.05235992 0.05235994 0.05235996

= 1.0000000--+---+... =

2! 4! 6!

= 1.0000000- 0.0013708 + 0.0000003 -... = 0.9986292 + 0.0000003 -... Отримуємо cos3° = 0.9986292 з абсолютной похибкою а = |0.0000003-...| < 0.0000003.

Отже,

0.9986292- 0.0000003 < cos3° < 0.9986292 + 0.0000003, 0.9986289< cos3° < 0.9986295,

і і точністю до 0.000001

cos3°« 0.998629

Зауваження 5. В розглянутих прикладах ми мали справу з знакозмінними рядами, в яких дуже просто оцінювати похибки обчислень. В інших випадках для наближених обчислень зручнішою може виявитись формула Тейлора. Див. з цього приводу п. 2.3.4.

11. РЯДИ ФУР"Є a. 11.1. РЯД ФУР^Є[16] ЗА ОРТОГОНАЛЬНОЮ СИСТЕМОЮ ФУНКЦІЙ

Означення 1. Дві ненульових функції f (x), g(x) називаються ортого­нальними на деякому відрізку [a, b\, якщо інтеґрал по цьому відрізку від їх до­бутку дорівнює нулю,

b

J f (x )g (x )dx = 0. ( 1 )

a

Означення 2. Система ненульових функцій називається ортогональною

на відрізку [a, b\, якщо функції системи парами ортогональні на [a, b\. Нехай

p (x\ p2 (x) p3Vn(x),... ( 2 )

- ортогональна система функцій на відрізку [a, b\, тобто

bb

| pi (x(x)dx = 0 для i Ф j і | pp (x)dx Ф 0 для j = i, ( 3 )

aa

а функцію f (x) розвинено в ряд за цією системою,

f (x) = С1р1 (x) + С2р2 (x) + С3р3 (x) + ... + cnpn (x) + .... ( 4 )

Треба знайти коефіцієнти c1, c2, c3,..., cnрозвинення.

Для знаходження cn ми помножимо обидві частини рівності (4) на pn (x) і почленно проінтеґруємо результат по [a, b\ (в припущенні, що це можливо),

f (x)pn (x) = С1р1 (x)pn (x) + С2р2 (x)pn (x) + ... + cnpn (x)pn (x) + ...

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1