2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 125

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

b b b b

| f (x )pn (x )dx = С11 p1 (x )pn (x )dx + С2 | p2 (x )pn (x )dx + ... + сп \pl (x )dx + ....

a a a a

Внаслідок ортогональності системи (2) всі інтеґрали праворуч дорівнюють ну­лю, за виключенням одного, і тому

bb

Jp (x )dxa

Ряд (4) з коефіцієнтами (5) називається рядом Фур"є для функції f (x) за ортогональною системою функцій (3). Коефіцієнти (5) називаються коефіцієн­тами Фур"є.

Ми можемо записати ряд (4) з коефіцієнтами (5) для доволі широкого класу функцій і ортогональних систем функцій, але ми не можемо, взагалі ка­жучи, гарантувати справедливість рівності (4).

З цієї причини звичайно пишуть

f (x) ~ c1p1 (x) + c2p2 (x) + c3p3 (x) + ... + cnpn (x) + ... ( 6 )

і кажуть, що ряд (6) відповідає функції f(x).

Основна проблема теорії рядів Фур"є полягає у відшуканні умов, які до­зволяють замінити відповідність (6) точною рівністю (4). Така проблема є роз-в"язаною, наприклад, для тригонометричної системи функцій, до розгляду якої ми зараз переходимо.

11.2. РЯД ФУР"Є ЗА ТРИГОНОМЕТРИЧНОЮ

СИСТЕМОЮ ФУНКЦІЙ

Нехай дано тригонометричну систему функцій

1 лл . лл 2лx . 2лс nrn . nrn . _. —, cos —, sin —, cos-, sin-,cos-, sin-,....            ( 7 )

2 l        l l l l l

Всі функції цієї системи - періодичні з спільним періодом 21.

■Взявши x + 21 замість x, отримаємо, наприклад, для косинуса

пл( x + 2l)        nrn + 2плі       ( плл   _    1 плл

cos—--- = cos-= cos\--+ 2пл і = cos-. ■

l l V l J l

Теорема 1. Тригонометрична система функцій (7) ортогональна на відрі­зку [-1, l\ і на довільному відрізку довжини 2l.

■Достатньо довести теорему для відрізка [-1, l\. Доведімо, щог 1     плл г 1 плл

I— cos-dx = 0, | sin-dx = 0 для будь-яких n,

2       l -l2 l

плл тле cos-cos

( 8 )

l

. nm . mm 7 . .      . n.

sin — sinіdx = 0 для різних m і n,  ( 9 )

dx = 0, J

l -l

l

| cos-sin-dx = 0 для будь-яких m і n,

J       / /

-l

і, крім того,

Але

JV 21dx=2, JVcos nm 1dx=[17] 1

nm , , , sin-І dx = l.

( 10 )

( 11 )

nmx j      l   . nm

cos-dx = — sin-

l nm l -l

nm (sinnm - sin(-пл)) = 0,

-l

. nmx ,        l nm

sin-dx =--cos-

l nm l

l

-l

--— (cosnm - cos(- пл)) = -- (cosnm - cosпл) = 0, пл пл

звідки ми отримуємо рівності (8) і (після перетворення добутків тригонометри­чних функцій в алгебричні суми) - рівності (9) - (10). Перша з формул (11) є очевидною, для отримання інших достатньо застосувати формули зниження степеня. Наприклад,

і ґ \2      і 1 + cos

r ( nm JI cos—— і dx = 2nm

dx = J

l   j     1 ff n        2nmx . -—dx = J і 1 + cos-|dx:

1 (J dx+ І

2nmx , cos-dx

-l -l

l . 2nm +--sin

-l

2пл

l

l

1

 J

= -(2l + 0) = l

2

Встановимо тепер відповідність між довільною функцією f(x і рядом Фур"є для неї за тригонометричною системою (7). Маємо

n=1

nm nm

l

l

( 12 )

де на підставі формул (5)

-l

a0 = -,-2 J f (x)—dx = - J f (x)dx,

l

l

an =

2

n

і аналогічно

b

1

n

2

Таким чином,

Зауваження 1. Сума ряду (12) є періодичною функцією з періодом 2/ (інакше кажучи, є 2/-періодичною). Отже, якщо якась функція f (x) розвиваєть­ся в ряд Фур"є (12), (13) на множині всіх дійсних чисел, вона повинна бути 2/-періодичною.

Означення 3. Функція f (x) називається кусково-монотонною на відріз­ку [a, b], якщо відрізок можна розбити на скінченну кількість частин (підінтер-валів), на кожній з яких функція є монотонною.

Теорема 2 (теорема розвивності Діріхле ). Якщо 2/-періодична функція f (x) обмежена і кусково-монотонна на відрізку [- /, /], то її ряд Фур"є (12), (13) збігається в будь-якій точці x. Сума ряду дорівнює самій функції

в кожній точці x неперервності функції. Якщо ж x0 є точкою розриву функції,

то сума ряду Фур"є в ній дорівнює півсумі лівої і правої границь функції в цій точці,

S (x ) = f (x) ( 14 )

S(x0 )= f (x0 - 0)+ f (x0 + 0) ( 15 )

де f    - 0)= lim f (x),   f    + 0)= lim f (x).

Отже,

a

пюс

пюс

- + > I an cos-+ bn sin

С     f (x) в точці неперервності,

f (x - 0) + f (x + 0) (16) —--~2—--- в точці розриву

(якщо коефіцієнти ряду визначаються формулами (13)).

Зауваження 2. Можна довести, что для парної або непарної функції фор­мула (13) для коефіцієнтів Фур"є і сам ряд Фур"є набувають іншого вигляду. Саме,

для парної функції маємо

a0 = Т j f (x)dx, an = 2 j f (x)cos ^dx, bn = 0,

00 і її ряд Фур"є містить тільки косинуси,

( 17 )

f (x) a,

0

+ > an cos-

для непарної функції маємо

a0 = 0, an = 0, bn = 2 j f (x )sin^dx; і її ряд Фур"є містить тільки синуси,

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1