2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 126

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

( 18 )

n=1

10 is' x

Рис. 1

/

Приклад 1. Функцію задано формулою

f (x )= x2 на відрізку [- 5, 5]. Развинути її в ряд Фур"є.

Розглянемо 2 • 5 -періодичну

функцію f *(x)1, яка визначена даною функцією на відрізку [- 5, 5] (див. рис. 1).

2

1 Така функція f (x) називається періодичним продовженням даної функції f (x) з відрізка [- 5, 5] на множину всіх дійсних чисел.

Їй відповідає ряд Фур"є (12), (13) (для випадку 2/ = 10, тобто / = 5), саме

2       n=1 V

nnx 1 . nnx cos--+ bn sin

5 5

Функція f *(x) є парною, тому ми знаходимо коефіцієнти Фур"є у вигляді (17),

a0 = j f (x )dx = 5 j x 2dx

2

5

5

= 2 x3 = 5 3

50

IP

bn = 0,

2 5   / n.     nnx       2 5 2 nnx an = 5 j f (x)cos—5— dx = 5 j x cos—5— dx = 2

u = x

, nnx ,

dv = cos-dx

5

5 nnx

du = 2 xdx   v = sin-

nn 5

= 2 = 5 ,

u = x

f

5 2 . nnx

I x sin-

nn v 5

5 5

5 с \ л 5

с       5   .  nnx ,          4 r I 2x--sin-dx =--I x sin

nn

0 0

nnx

dx

nn

. . nnx , dv = sin-dx

du = dx v

5 nnx =--cos-

nn

nn

5 f       nnx 1

--1 x cos-I

nn V        5 J

+

0  nn 0

cos

nnx

dx

20

22 n

5 nnx 5cosnn - j cos-dx

20

22 n /   \n    5   . nnx

5 •(-1)--sin-

nn 5 5

0 J

(-1 )n 100

22 n

Функція f *(x) задовольняє умови теореми розвивності Діріхле: вона об­межена і кусково-монотонна на [- 5, 5] (0 < x2 < 25, x2 спадає на підінтервалі [- 5, 0] і зростає на підінтервалі [0, 5]). Крім того, вона неперервна на множині всіх дійсних чисел, і тому її ряд Фур"є збігається до неї в будь-якій точці. Зок­рема, він збігається до функції f (x) = x2 на відрізку [- 5, 5]. Таким чином,

г „   п    2   a0   -A        nnx   25       (- 1)n 100 nnx

Vx єі-5,51  x = +> an cos-= —       ——cos-

2   tt n       5      3    it   n2n2 5

Приклад 2. Функцію задано формулою

f (x ) = - x w 3

на інтервалі (- n, n). Розвинути її в ряд Фур"є.

5

0

5

5

5

5

Ряди Фур"є

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

-if

 

 

0

 

2t Sf

Розглянемо 2n -періодичну функцію f *(x), яка визначена Рис. 2 даною функцією на ін-

тервалі (- n, n) (див. рис. 2)[18]. Їй відповідає ряд Фур"є (для випадку 2/ = 2n, тобто для випадку / = n )

f *( x) - — + >> (an cos nx + bn sin nx).

2 n=1

Функція f *(x) непарна, і ми знаходимо для неї коефіцієнти Фур"є за формулою (18),

2

3n

bn =  j f (x )sin nxdx =---j x sin nxdx =

n 0 n 30

(x cos nx)  + jcos nxdx

u = x dv = sin nxdx du = dx   v = — cos nx

— * n

n

00

3nn

n cos nn

sin nx

2 cos nn 3n

Функція f *(x) задовольняє всі умови теореми Діріхле (вона обмежена числами -n/3, -n/3 і зростає на інтервалі (- n, n)) і є неперервною на мно­жині всіх дійсних чисел, за виключенням точок 0, ± 2n, ± 4n,.... Тому її ряд Фу-р"є збігається до функції в усіх точках, крім названих. Зокрема, він збігається до функції f (x) = 1/3 x на заданому інтервалі (- n, n), тобто

cos nn

1        2 00 Vx є(- n, n) - x = - - >

3        3 n=1 n

2 ^(- 1)n . 2 ^(- 1)n+[19] .

sin nx = >-—— sin nx = >>—-— sin nx.

3 n=1    n 3 n=1 n

Сума ряду Фур"є в точках ± n дорівнює 0. Для точки x = n ми міркуємо наступним чином:

S(n) = 2(f *(n -0)+ f '(n + 0))= і(f (n -0)+ f (-n + 0)) = 2Vin + 3(-n)J = 0;аналогічно для іншої точки -n

S (-n) =1 (f '(-n-0) + f'(- n + 0))= 2 (f (n-0)+f (- n + 0)) = 2 f 3n + 3 (-n)] = 0

Приклад 3. Нехай задано функцію

1       на (-n,0),

1

1 f 1 1

f (x ) =

Розвинути її в ряд Фур"є.

Ln

x - 2   на    [0, n]

Рис. 3

Розглянемо 2n-періодичну функцію f *(x), визначену на інтервалі (- n, n] даною формулою (рис. 3). Відповідний їй ряд Фур"є (12), (13) (для ви­падку 2/ = 2n , тобто для випадку / = n )

f *(x)--0 + >(an cos nx + bn sin nx)

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1