2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1 - страница 98

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 

Якщо, наприклад, yJ (x), y2 (x) - два розв'язки рівняння (3), а CJ, С2 дові­льні сталі, то функція

У = CJ yj (x)+ C2 y2 (x)

також є розв'язом, що випливає з властивостей J і 2 розв'язків рівняння (3).

3. Якщо функція y = yJ(x) + zy2 (x) є комплексним розв'язком рівняння (3) з дійсними коефіцієнтами a(x), b(x), то його дійсна та уявна частини yJ(x), y2 (x) також є розв'язками цього рівняння.

6.2. ЛІНІЙНА ЗАЛЕЖНІСТЬ І НЕЗАЛЕЖНІСТЬ ФУНКЦІЙ І РОЗВ"ЯЗКІВ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

значення3. Дві функції (x), 2 (x) називаються лінійно залежними на

відрізку [a, b], якщо існують числа Х1, Х2, не рівні нулю одночасно (ії2 + Х2 > > 0), такі, що для будь-якого x є [a, b] справджується тотожність

Xj(Pj (x)+ f—2 (x) = 0. ( 6 )

Якщо ж тотожність є справедливою тільки при f = Х2 = 0, ці функції називаю­ться лінійно незалежними.

Теорема 2. Дві функції (x), 2 (x) лінійно залежні на відрізку [a, b] тоді і тільки тоді, якщо їх відношення тотожно дорівнює сталій на цьому відрізку, тобто якщо для будь-якого x є [a, b]

1 (x)

>2(x) = C = const.

( 7 )

■ J. Нехай функції ^J(x), g>2(x) лінійно залежні на відрізку [a, b], так що тотожність (6) є вірною для Х^ + Х22 > 0. Якщо, наприклад, Хх Ф 0, то з (6) маємо

Х 2 Х const ,

Удалено: (

Удалено:

Отформатировано: русский (Россия)

відношення функцій тотожно дорівнює сталій.

3. Нехай тепер

J (x)/ 2 (x) = C = const

на [a, b]. Тоді

J (x) = C—2 (x),J (x)+(- C)-—2 (x) = 0 = J Ф 0, Х2 =-C, Xj2 +    > 0), і функції J (x), 2 (x) лінійно залежні за означенням лінійної залежності.^

Приклад 2. Функції cos ax, sin ax для a Ф 0лінійно незалежні на всій чи­словій осі        да), оскільки їх відношення не є тотожно сталим.

Означення 4. n функцій J(x), 2(x),n(x) називаються лінійно залеж­ними на відрізку [a, b], якщо існують n чисел XJ, Х2,..., Xn, не рівних нулю од­ночасно (^ Х2 > 0) і таких, що для довільного x є [a, b] справедлива тотож-

i=1

ність

Х—j (x)+ 2 (x)+ ... + Кп (x) = 0. ( 8 )

Якщо ж тотожність є справедливою тільки у випадку Х1 = Х2 = ... = Хп = 0, то функції називаються лінійно незалежними на [a, b].

Приклад 3. Функції J, x, x2, x3,xnлінійно незалежні на 9? = (-да, да), бо многочлен відносно x

Х1 - J + Х2 - x + Х3 - x2 +... + Хп+1 - xn тотожно дорівнює нулю тільки тоді, якщо всі його коефіцєнти дорівнюють ну­лю, тобто якщо если Х = Х2 = Х3 =... = Хп+1 = 0.

В теорії і практиці лінійних диференціальних рівнянь важливе значення має наступний визначник.

Означення 5. Визначником Вронського1, або вронскіаном n функцій J (x), 2 (x),..., n (x) називається наступний визначник n-го порядку:

1 Вронський (Гене-Вронський), Юзеф Марія (1778 - 1853) - польський математик і філософ

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку

 

pi(x)

cp2 (x)

p3(x ) .

. p "(x

 

p(x)

(p'2(x)

p3(x) .

. p "2(x

W(x) = W[p(x), <р2(x),..., p(x)] =

ti'(x)

p'2'(x)

p 322(x ..

. p':(x)

 

pi" ~4x)

p2" -i)(x)

p3"-1)(x) .

. p""-:)(x)

( 9 )

Приклад 4. Вронскіан функцій cos ax, sin ax (див. приклад 2) дорівнює

W (x) =

cos ax      sin ax - a sin ax   a cos axi

= a cos ax + a sin ax = a.

cos ax      sin ax (cos ax     (sin ax

Вронскіан є зручним інструментом для встановлення лінійної залежності будь-якої системи функцій і, що є для нас особливо важливим, - лінійної неза­лежності розв'язків лінійних однорідних диференціальних рівнянь.

Теорема 3. Якщо функції pi(x), p2(x),..., pn(x) лінійно залежні на відрізку [a, b], то їх вронскіан тотожно дорівнює нулю на [a, b], W(x) = 0.

■Нехай, задля простоти, дві функції px (x), p2 (x) лінейно залежні на відрі­зку [a, b]. За означенням лінійної залежності існують такі два числа X, X, Що Xj2 + X > 0 і тотожно

на [a, b]. Продиференціюємо цю тотожність і утворимо таку систему лінійних алгебричних рівнянь відносно X, X2:

jXPi (x)+ X2P2 (x) = 0,

Для будь-якого x є [a, b] система має нетривіальний (ненульовий) розв'язок, а тому її головний визначник тотожно дорівнює нулю на відрізку [a, b],

pi(x) p2(x) pi'(x )  p^(x)

Для випадку тільки двох (але не більше) функцій p1 (x), p2 (x) теорему мо­жна довести ще простіше. Дійсно, відношення цих лінійно залежних функцій тотожно дорівнює сталій на [a, b]. Нехай, наприклад,

А =

W [pi {x\p2 (x)]= 0.^

W[pi (x), p2(x)]

p2 (x )/ pi (x) = C = const.

Тоді p2 (x) = Cpi (x), і вронскіан функцій дорівнює

pi(x)  p2(x) Теорема 4. Якщо функції

pi(x), p2(x),. - p"(x) є лінійно незалежними розв'язками лінійного однорідного диференціального рівняння "-го порядку з коефіцієнтами, неперервними на деякому відрізку, то вронскіан цих розв'язків не перетворюється в нуль в жодній точці відрізка.

■Доведення теореми проведемо від супротивного. Для простоти розгля­немо випадок двох лінійно незалежних розв'язків pi (x), p2 (x) лінійного одно­рідного рівняння (3) другого порядку з неперервними на відрізку [a, b] коефіці­єнтами a(x), b(x). Припустимо, що вронскіан цих розв'язків дорівнює нулю в деякій точці x0 відрізка, тобто W(x0) = 0, x0 є [a, b]. Виберемо два не рівних одночасно нулю числа Xi , X2 так, щоб пара ( Xi , X2) була розв'язком наступної системи лінійних алгебричних рівнянь:

jXpi (x0 )+ X2p2 (x0 )= 0, ( i0 )

lXpi (x0 )+ X2p2 (x0 )= 0.

Такий вибір можливий, оскільки головним визначником системи (i0) є рівне нулю число W (x0). Утворимо тепер функцію

У = Xpi (x)+ X2p2 (x).

Вона є розв'язком рівняння (3), що задовольняє нульові початкові умови, а са­ме умови (i0). Отже, на підставі прикладу i такий розв'язок тотожно дорівнює нулю, тобто

Xp (x)+ X2p2 (x ) = С0,

причому числа X, X2 не дорівнюють нулю одночасно. Але це значить, що, всу­переч умові, функції pi (x), p2 (x) є лінійно залежними. Ми дістали протиріччя, яке доводить теорему.^

Страницы:
1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131 


Похожие статьи

2 - Математичний аналіз першого курсу частини 1